Ъгли на триъгълник

[Гост]

Триъгълникът АВС има тъп ъгъл при върха В и [tex]\angle[/tex]А<[tex]\angle[/tex]С. Ъглополовящата на външния ъгъл при върха А пресича правата ВС в D, а тази на външния ъгъл при върха В-правата АС в Е. Ако АВ=АD=ВЕ, да се намерят ъглите на триъгълника.

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-07T184038.089.png (255.67 KiB) Прегледано 226 пъти

Триъгълникът АВС има тъп ъгъл при върха В и [tex]\angle[/tex]А<[tex]\angle[/tex]С. Ъглополовящата на външния ъгъл при върха А пресича правата ВС в D, а тази на външния ъгъл при върха В-правата АС в Е. Ако АВ=АD=ВЕ, да се намерят ъглите на триъгълника.

Нека [tex]\angle BAC = \alpha[/tex] и $\alpha_{1 }$ - външен $\Rightarrow \alpha_{1 } = 180^\circ - \alpha ,\frac{\alpha_{1 }}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
Разглеждам $\triangle ABD$ : $AB = AD , \angle DAB = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle ADB = \angle ABD = \varphi = \frac{1}{2}[180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2})] \Rightarrow$ $\varphi = 45^\circ + \frac{\alpha}{4} $, и тогава $ \frac{\varphi}{2} = \frac{45^\circ}{2} + \frac{\alpha}{8}$
$\angle DBA = \varphi$ и $\angle ABC = \beta$ са съседни $\Rightarrow \varphi + \beta = 180^\circ \Leftrightarrow 45^\circ + \frac{\alpha}{4} + \beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 135^\circ - \frac{\alpha}{4}$
Разглеждам $\triangle ABE $ : $AB = BE \Rightarrow \angle BEA = \angle BAC = \alpha$
За сбора от ъглите му следва: $ 2\alpha + \beta + \frac{\varphi}{2} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\alpha + 135^\circ - \frac{\alpha}{4} + \frac{45^\circ}{2} + \frac{\alpha}{8} = 180^\circ$
След преработка: $2\alpha - \frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha}{8} = \frac{45^\circ}{2} \Leftrightarrow 15\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 12^\circ$
$\beta = 135^\circ - \frac{\alpha}{4} = 132^\circ , \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 36^\circ$
$$\angle BAC = 12^\circ ; \angle ABC = 132^\circ ; \angle ACB = 36^\circ$$