Геометрични задачи

[elpeneva]

Даден е триъгалник АВС , в който ъглите А:В:С=2:1:9. Точката N е от страната АВ и е така че ъгъл АNС = 60. През върха А е прекарана права l успоредна на СN. Ъглополовящата на [tex]\angle[/tex] АСN пресича АВ в точка L и правата l в точка Р.
Определете вида на \triangle РАС
Намерете ъглите на \triangle LСВ
Ако АР=7 см намерете дължината на LВ

[elpeneva]

Никой ли не може да помогне?

[Евва]

Направи първата стъпка-намери ъглите в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Ние ще помогнем нататък .

[elpeneva]

А = 30
В = 15
С = 135

[Евва]

Браво
Мога да пратя решението си вечерта .

Скрит текст: покажи

Свободното ми време свърши .

Учили ли сте теорема за правоъгълен [tex]\triangle[/tex] с ъгъл 15[tex]^\circ[/tex] ?

[elpeneva]

да

[Евва]

Определете вида на [tex]\triangle[/tex]РАС
(Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ANC) [tex]\angle[/tex]ANC+[tex]\angle[/tex]CAN+[tex]\angle[/tex]NCA=180[tex]^\circ[/tex] [[tex]\angle[/tex]CAN=[tex]\angle[/tex]CAB ]
60[tex]^\circ[/tex]+30[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]NCA=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]NCA=90[tex]^\circ[/tex] (1)
CL е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]NCA [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACL=[tex]\angle[/tex]ACP=[tex]\angle[/tex]NCL=[tex]\angle[/tex]NCP=45[tex]^\circ[/tex] (2)
l||CN [tex]\Rightarrow[/tex] сборът на прилежащите [tex]\angle[/tex]ACN и [tex]\angle[/tex]CAP ще е 180[tex]^\circ[/tex] т.е.
[tex]\angle[/tex]ACN+[tex]\angle[/tex]CAP=180[tex]^\circ[/tex] [ виж (1)] ; 90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]САР=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]САР=90[tex]^\circ[/tex] (3) тогава [tex]\triangle[/tex]РАС е правоъгълен

Намерете ъглите на [tex]\triangle[/tex]LCB
(Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]LBC) [tex]\angle[/tex]LCB=[tex]\angle[/tex]ACB-[tex]\angle[/tex]ACL ; (виж (2))[tex]\angle[/tex]LCB=135[tex]^\circ[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]LCB+[tex]\angle[/tex]CLB+[tex]\angle[/tex]LBC=180[tex]^\circ[/tex]
90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]CLB+15[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CLB=75[tex]^\circ[/tex]
Намерихме: [tex]\angle[/tex]CLB=75[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\angle[/tex]LBC=15[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\angle[/tex]LCB=90[tex]^\circ[/tex] (4)

АР=7 см. LB=?
(виж [tex]\triangle[/tex]APC) [tex]\angle[/tex]APC+[tex]\angle[/tex]PCA+[tex]\angle[/tex]CAP=180[tex]^\circ[/tex] (виж (2) и (3))
[tex]\angle[/tex]APC+45[tex]^\circ[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]APC=45[tex]^\circ[/tex] ,но толкова бе и [tex]\angle[/tex]PCA ( от (2) ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]РСА е равнобедрен с бедра АР и АС
Доказахме,че АС=АР=7 см. (5)
Построяваме СН-височина в [tex]\triangle[/tex]АВС ,тогава [tex]\triangle[/tex]АНС е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]САН=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] СН=[tex]\frac{АС}{2}[/tex] ; СН=[tex]\frac{7}{2}[/tex] см.

СН е височина към хипотенузата LB в прав.[tex]\triangle[/tex]LBC (виж (4)) ,на който единия ъгъл [tex]\angle[/tex]LBC=15[tex]^\circ[/tex] .
Според теорема тази височина ще е 4 пъти по-малка от хипотенузата т.е.
CH=[tex]\frac{LB}{4}[/tex] , получихме [tex]\frac{7}{2}[/tex]=[tex]\frac{LB}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] LB=14 см.