Равностранен триъгълник

[eni33]

Даден е рсвностранен триъгълник АВС. В полуравнината, определена от ВС, несъдържаща А, е взета точка М така, че ъгъл АМС=ъгъл АМС=60°. Докажете, че АМ=СМ+ВМ

[Knowledge Greedy]

Въпросните точки са безбройно много и те са разположени върху дъгата [tex]\widehat{BC}[/tex] от описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност - без точките [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex].
_______________
Ако задачата е дадена за 7 -ми клас, не виждам как децата ще се сетят за нещо повече от два перпендикуляри [tex]g[/tex] - през B и [tex]g\bot AB[/tex],
и [tex]l[/tex] - през точка [tex]C[/tex] и [tex]l\bot AC[/tex].

Те ще се пресекат [tex]g\cap l ={M}[/tex] и ще бъде ясно, че всеки от триъгълниците [tex]\triangle ABM[/tex] и [tex]\triangle ACM[/tex], освен че са еднакви помежду си, са правоъгълни и имат по един остър ъгъл [tex]30^\circ[/tex],
значи едното условие [tex]\angle AMC=60^\circ[/tex] е изпълнено и ... заради ъглите по [tex]30^\circ \,\ \Rightarrow \,\ BM=CM=\frac{1}{2}AM[/tex], следователно и другото - заключението [tex]BM+CM=AM[/tex] е изпълнено.