Триъгълник - ъглополовяши и лице

[Гост]

В триъгълник ABC ъгъл a:b:c=1:2:3 и периметърът му е 36cm. Ъглополовящите AL1 и BL2 се пресичат в точка O. Разстоянието от точка O до страната BC е 3cm. Лицето на кой триъгълник е 18cm^2?

Отговорът е триъгълник АОC, не знам как се намира?

[Knowledge Greedy]

От даденото отношение следва, че [tex]\angle B=60^\circ[/tex]
Също така е даден радиусът на вписаната окръжност r=3 cm.
Полупериметърът е 18 cm помага да открием лицето на триъгълника S =pr=54.
Срещу най-малката страна е най-малкият ъгъл, срещу втората — вторият по големина ъгъл.
От триъгълниците, [tex]\triangle AOC[/tex] е с второ по големина лице. Следователно точно той е с лице 18 кв. см, в противен случай или лицето на [tex]\triangle ABC[/tex] ще е по - малко или ще е по-голямо от 54 кв. См.

[S.B.]

В триъгълник ABC ъгъл a:b:c=1:2:3 и периметърът му е 36cm. Ъглополовящите AL1 и BL2 се пресичат в точка O. Разстоянието от точка O до страната BC е 3cm. Лицето на кой триъгълник е 18cm^2?

Отговорът е триъгълник АОC, не знам как се намира?

Ще си позволя да не се съглася с мнението уважавания от всички нас колега Knowledge Greedy.Нито един от триъгълниците не е с лице 18.Ще докажа твърдението си само със знанията на седмокласниците,без да използвам понятието "радиус на вписана окръжност" и съответно формулата [tex]S = pr[/tex]
Условието $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 \Leftrightarrow x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$
Получава се $\triangle ABC$ в който $\angle A = 30^\circ, \angle B = 60^\circ ,\angle C = 90^\circ$

Без заглавие - 2020-05-04T092354.134.png (267.24 KiB) Прегледано 274 пъти

За ъглополовящите е казано ,че $AL_{1 } \cap BL_{2 } = O$ и $ON\bot BC,ON = 3$
Точка $O$ принадлежи на ъглополовящата $AL_{1 } \Rightarrow ON = OM = 3$ ,където $OM\bot AB$
Точка $O$ принадлежи и на ъглополовящата $BL_{2 }\Rightarrow OM = OP = 3$ ,където $OP \bot AC$
$ \Rightarrow OM = ON = OP = 3$
$\triangle MOB \cong \triangle NOB$ по катет и хипотенуза $\Rightarrow BN = BM = y$
$\triangle MOA \cong \triangle POA$ по катет и хипотенуза $\Rightarrow AM = AP = x$
Във фигурата $ PONC$ има 3 прави ъгъла и равни съседни страни $\Rightarrow PONC$ е квадрат и $\Rightarrow NC = PC = 3$
$P_{ABC } = AB + BC + AC \Leftrightarrow 36 = x + y + x + 3 + y + 3 \Leftrightarrow 2(x + y) = 36 - 6 \Leftrightarrow 2(x + y) = 30 \Rightarrow$
$ x + y = 15 \Rightarrow AB = 15$см
Страната $ BC = \frac{15}{2} = 7,5$ защото $BC$ лежи срещу ъгъл от $30^\circ$
Тогава $AC = P_{ABC } - (AB + BC) \Leftrightarrow AC = 36 - (15 + 7,5) \Rightarrow AC = 13,5$
Получихме страните на $\triangle ABC \rightarrow AB = 15,BC= 7,5 ,AC = 13,5$
За лицата на триъгълниците получаваме:

$S_{AOB } = \frac{AB.MO}{2} = \frac{15.3}{2} = 22,5$ $см^{2}$

$S_{BOC } = \frac{BC.ON}{2} = \frac{7,5.3}{2} = 11,25$ $см^{2}$

$S_{AOC } = \frac{AC.PO}{2} = \frac{13,5.3}{2} = 20,25$ $см^{2}$
Отговорът е ,че няма триъгълник (от получените!),лицето на който е 18 $см^{2}$Вероятно в теста е имало такъв отговор,но детето го е игнорирало и е предположило,(по някаква своя логика,без да решава задачата!)че лицето на $\triangle AOC$ отговаря на това условие

[KOPMOPAH]

За кой ли път имаме работа с некоректно формулирана задача...

Ако периметърът е $36$, не може при зададените ъгли (за това, че ъглите са $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$ няма спор) радиусът на вписаната окръжност да е $3$ и обратно.

В израза за лицето на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност ще присъства ирационалност, предизвикана от наличието на коефициента $\sqrt 3$ в израза за катета срещу $60^\circ$.

За да се "спаси" задачата, ако авторите й въобще заслужават това, тя трябва да изглежда така:

В триъгълник ABC страните a:b:c=3:4:5 и периметърът му е 36cm. Ъглополовящите AL1 и BL2 се пресичат в точка O. Разстоянието от точка O до страната BC е 3cm. Лицето на кой триъгълник е 18cm^2?


Тогава и радиусът на вписаната окръжност, наречен за седмокласника "Разстоянието от точка O до страната BC" е $3\,cm$, и наистина един от триъгълниците, при това именно $AOC$, е с лице $18\,cm^2$

Ама това си е съвсем друга задача...

[S.B.]

Съгласна съм с KOPMOPAH,задачата е абсолютно некоректна.Аз умишлено още в началото обявих,че тръгвам изключително само със знанията на седмокласниците.За това използвах периметъра за да намеря страната $AC$.Ако бях извън знанията на седмокласниците щях да намеря страната $AC$ с тригонометрия и щях да получа [tex]AC = AB.sin60^\circ \Leftrightarrow AC = 15.\frac{\sqrt{3}}{2} = 7,5\sqrt{3} \approx 7,5. 1,732 \approx 12,99[/tex] и тогава периметърът щеше да се окаже,че е $ \approx35,49 \ne 36$ както са казали авторите на задачата.Явно са "закръглили" периметъра на $36$ с презумпцията "Кой ти разбира от военна музика!!!" Да ,ама седмокласниците ако малко се замислят ще установят,че:
$S_{ABC } = S_{AOB } + S_{BOC } + S_{AOC } = 54$
Освен това те знаят и ,че :
$S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{7,5.13,5}{2} = 50,625$ , а $50,625 \ne 54$
И тогава с право биха им извикали: "Ало,авторите!Вие за идиоти ли ни имате?!"