задача триъгълник

[Гост]

zad23.doc

(92 KiB) 113 пъти

Бихте ли помогнали за подточка Б.

[S.B.]

Без заглавие (14).png (236.74 KiB) Прегледано 253 пъти

Искам да посъветвам нашите малки приятели,в бъдеще,когато търсят помощ,или да преписват условието на задачата или да качват снимка.
Дадено :[tex]\triangle ABC[/tex] - остроъгълен ,$\angle ACB = 45^\circ , BP\bot AC , P\in AC , CD\bot AB , D\in AB, CD\cap BP = H $
Да се докаже: $PA = PH$
Да се намери :$\angle DCB$, ако $BC = 2.DP$

Решение:
От $\triangle BPC \rightarrow BP = PC$ ( триъгълникът е равнобедрен и правоъгълен)
От $\triangle CPH \rightarrow \angle PCH = \varphi , \angle CHP = \alpha , \angle P = 90^\circ \Rightarrow \varphi + \alpha = 90^\circ$
От $\triangle DHB \rightarrow \angle D = 90^\circ , \angle DHB = \angle CHP = \alpha \Rightarrow \angle HBD = \varphi$
За $\triangle PAB \rightarrow \angle P = 90^\circ ,\angle PBA = \varphi,\angle A = \alpha$
$\triangle CPH \cong \triangle APB$ ( 2-ри признак:$ CP = PB,\angle APB = \angle CPB = 90^\circ ,\angle PCH = \angle ABP = \varphi$)
От еднаквостта $\Rightarrow AP = PH$
$\triangle DBC$ е правоъгълен.Построявам $DM$ - медиана към хипотенузата $BC$ , $М\in BC , M$ е среда на $BC$
Но тогава $PM$ е медиана към хипотенузата на $\triangle PBC$
$MP = MD = \frac{BC}{2} $,но по условие $PD = \frac{BC}{2} \Rightarrow PD = PM = MD \Rightarrow \triangle PDM $ е равностранен
$\Rightarrow \angle DMP = 60^\circ$
Но $PM\bot BC$ (медиана към хипотенузата на равнобедрен триъгълник) $\Rightarrow \angle DMB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
Но $\angle DMB$ е външен за равнобедрения $\triangle DMC \Rightarrow 2.\angle DCM = 30^\circ \Rightarrow \angle DCB = 15^\circ$