Задачи за успоредници

[Гост]

Задача 1: Диагоналите на правоъгълника АВСD се пресичат в точка О. През върха D е построена права, успоредна на АС, която пресича правата ВС в точка Р. Отсечките АР и СD се пресичат в точка М, а правите ОМ и DР се пресичат в точка N. Докажете, че четириъгълник DOCN е ромб.

[S.B.]

Задача 1: Диагоналите на правоъгълника АВСD се пресичат в точка О. През върха D е построена права, успоредна на АС, която пресича правата ВС в точка Р. Отсечките АР и СD се пресичат в точка М, а правите ОМ и DР се пресичат в точка N. Докажете, че четириъгълник DOCN е ромб.

Без заглавие - 2020-06-23T151332.893.png (204.93 KiB) Прегледано 377 пъти

Доказателство:

[tex]\begin{cases} AC || DP \\ AD || CP \end{cases} \Rightarrow ACPD[/tex] е успоредник и $AM = MP ,DM = MC$ ( диагоналите се разполовяват)
$DN || OC$ (защото са отсечки лежащи на успоредните $DP$ и $AC$
$\triangle DMN \cong \triangle OCM$ по втори признак:
$DM = MC ,\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4$ като кръстни при пресичане на 2 успоредни прави с трета)
$\Rightarrow DN = OC$
От $\begin{cases} DN || OC \\ DN = OC \end{cases} \Rightarrow DOCN$ е успоредник
$AC = BD$ като диагонали на правоъгълник $\Rightarrow \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2} \Rightarrow OC = CD $
Получихме,че съседните страни $OC$ и $ОD$ в успоредника $DOCN$ са равни
$\Rightarrow DOCN$ е ромб

[Гост]

Много благодаря!!!