Задача втори модул!

[Гост]

Ъглополовящите AM и BP в триъгълника ABC (M  BC, P  AC) сключват съответно със страните BC и AC ъгли, равни на 75. Намерете ъглите на триъгълника АВС. (Разгледайте всички възможни случаи)

[ammornil]

Три случая за триъгълника- на чертежа долу индекс 1: остроъгълен, индекс 2: правоъгълен, индекс 3: тъпоъгълен.
И в трите случая дадените триъгълници са равнобедрени, защото:
[tex]\begin{cases} \triangle CMA \rightarrow \angle CAM = 180 ^\circ -75 ^\circ - \angle MCA \\ \triangle CPB \rightarrow \angle PBC = 180 ^\circ -75 ^\circ - \angle BCP \end{cases} \Rightarrow (1) \angle CAM = \angle PBC = 180 ^\circ -75 ^\circ - \angle BCA[/tex],

но AM и BP са ъглополовящи, откъдето (2) [tex]\begin{cases} \angle CAМ = \angle MAB \\\angle CBP = \angle PBA \end{cases}[/tex]

От (1) и (2) следва, че [tex]\angle BAM = \angle ABP[/tex], следователно [tex]\angle CAB = \angle CBA[/tex]

Нека означим [tex]\angle CAМ = \angle MAB= \angle CBP = \angle PBA = x, \Rightarrow \angle CAB = \angle CBA =2x[/tex] и [tex]\angle BCA =y[/tex].

ПЪРВИ СЛУЧАЙ: За остроъгълния триъгълник, у<90. Имаме:
[tex]\begin{array}{|l} \triangle CMA \rightarrow x+75+y=180 \\ \triangle ABC \rightarrow 4x+y=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x+y=105 \\ 4x+y=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y=105-x \\ 4x+105-x=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y=105-x \\ 3x=75 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y=80 \\ x=25 \end{array}[/tex]
[tex]\angle ABC = \angle BAC =2x =50 ^\circ , \angle ACB = y =80 ^\circ[/tex]
y<90 и сборът от трите ъгъла е 180, следователно полученото решение удовлетворява всички ограничения и е реално решение.

ВТОРИ СЛУЧАЙ: За правоъгълния триъгълник, у=90. Имаме:
[tex]\begin{array}{|l} \triangle CMA \rightarrow x+75+90=180 \\ \triangle ABC \rightarrow 4x+90=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=180-165 \\ 4x=90 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=15 \\ x=\frac{45}{2} \end{array}[/tex] Стигнахме до противоречие, където половинките на острите ъгли са едновременно с две различни градусни мерки, следователно ДАДЕНИЯТ ТРИЪГЪЛНИК НЕ МОЖЕ ДА Е ПРАВОЪГЪЛЕН.

ТРЕТИ СЛУЧАЙ: За тъпоъгълния триъгълник, у>90. Имаме:
[tex]\begin{array}{|l} \triangle CMA \rightarrow x+75+y=180 \\ \triangle ABC \rightarrow 4x+y=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x+y=105 \\ 4x+y=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y=105-x \\ 4x+105-x=180 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y=105-x \\ 3x=75 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y=80 \\ x=25 \end{array}[/tex].
Полученото решение противоречи на ограничението за тъпоъгълния триъгълник (у>90), следователно ДАДЕНИЯТ ТРИЪГЪЛНИК НЕ МОЖЕ ДА Е ТЪПОЪГЪЛЕН.


[tex][/tex]

[Евва]

А може ли [tex]\angle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]М_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] да е равен на 75[tex]^\circ[/tex] ? (за остроъгълен тр-к)
Тогава ъглите са 70[tex]^\circ[/tex] ,70[tex]^\circ[/tex] ,40[tex]^\circ[/tex] .