Геометрична задача за 7 клас

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]ABC точка М е вътрешна. Ако АМ = ВМ,
\angleMAB = 15^\circ, \angleCAB = 45 ^\circ, \angleCBA = 30 ^\circ. Точка P\inBC , AP = BP. Определете \angleCMP

[Гост]

Ето и снимка

[Nathi123]

От условието на задачата следва ,че триъг. АВС е тъпоъгълен с ъгъл АСВ = [tex]105^\circ ; \angle ABC=30^\circ ; \angle CAB=45^\circ[/tex]
По усл. AP=PB и AM=MB,следователно точките Р и М са от симетралата на АВ - права а .Нека а[tex]\cap AB=L; AL=LB\Rightarrow \angle MAB=\angle MBA=15^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle LBP=30^\circ ; \angle LPB=60^\circ ( \triangle PLB;\angle PLB=90^\circ) \Rightarrow \angle PMB=180^\circ-(60^\circ+15^\circ)=105^\circ=\angle ACP[/tex].
[tex]AP=BP ; \angle ACP=\angle PMB=105^\circ ; \angle CAP=\angle PBM=15^\circ \Rightarrow \triangle ACP \cong \triangle PMB[/tex] ( по ІІ-ри признак)
[tex]\Rightarrow CP = PM ; \triangle CPM\Rightarrow \angle CPM=180^\circ - \angle MPB=180^\circ -60^\circ=120^\circ[/tex] (съседни ъгли)
[tex]\Rightarrow \angle PCM=\angle CMP=\frac{1}{2}(180^\circ-120^\circ)=30^\circ[/tex].