Задача от симетрала на отсечка

[Гост]

Симетралите на страните AC и BC на остроъгълния ∆ABC се пресичат в точка О.Намерете:
а)ъгъл AOB;ако ъгъл ACB=44°;
б)ъгъл АСВ,ако ъгъл АОВ=110°

[S.B.]

Симетралите на страните AC и BC на остроъгълния ∆ABC се пресичат в точка О.Намерете:
а)ъгъл AOB;ако ъгъл ACB=44°;
б)ъгъл АСВ,ако ъгъл АОВ=110°

Без заглавие - 2021-03-21T154110.457.png (360.54 KiB) Прегледано 456 пъти

Подусловие а)
[tex]т.O\in S_{AC } \Rightarrow AO = CO[/tex]
$т.O \in S_{BC } \Rightarrow BO = CO$
От $\begin{cases} AO = CO \\ BO = CO \end{cases} \Rightarrow AO = BO = CO \Rightarrow \triangle AOB ,\triangle BOC , \triangle AOC$ са равнобедрени
Нека $\angle OAC= \angle OCA = x \Rightarrow \angle AOC = 180^\circ - 2x$
$\angle OCB = \angle OBC = 44^\circ - x \Rightarrow \angle COB = 180^\circ - 2(44^\circ - x) = 92^\circ + 2x$
$\angle AOC + \angle BOC + \angle AOB = 360^\circ \Leftrightarrow 180^\circ - 2x + 92^\circ + 2x + \angle AOB = 360^\circ \Rightarrow \angle AOB = 88^\circ$

Подусловие б)
$т.O\in S_{AC } \Rightarrow AO = OC$
$т.O\in S_{BC } \Rightarrow BO = OC $
От $\begin{cases} AO = OC \\ BO = OC \end{cases} \Rightarrow AO = OB = OC \Rightarrow \triangle AOB, \triangle BOC , \triangle AOC$ са равнобедрени
За $\triangle AOB \rightarrow \angle AOB = 110^\circ \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA = 35^\circ$
За $\triangle AOC \rightarrow \angle OAC = \angle OCA = x$
За $\triangle BOC \rightarrow \angle OCB = \angle OBC = \angle C - x$
За $\triangle ABC \rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Leftrightarrow$
$\angle BAO + \angle OAC + \angle OCA + \angle OCB + \angle OBC +\angle OBA = 180^\circ \Leftrightarrow 2.35^\circ + 2x + 2(\angle C - x) = 180^\circ \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 70^\circ + 2x + 2.\angle C - 2x = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 55^\circ$