Да се докаже

[Евва]

Върху продълженията на страните AB ,BC ,CD ,DA на изпъкнал четириъгълник ABCD са нанесени съответно отсечките B[tex]C_{1 }[/tex]=AB , C[tex]D_{1 }[/tex]=BC , D[tex]A_{1 }[/tex]=CD , A[tex]B_{1 }[/tex]=DA . Да се докаже ,че
лицето на четириъгълника [tex]A_{1 } B_{1 } C_{1 } D_{1}[/tex] е 5 пъти по-голямо от лицето на ABCD .

[KOPMOPAH]

Да се докаже - 1.png (15.58 KiB) Прегледано 245 пъти

Да се докаже - 2.png (15.41 KiB) Прегледано 245 пъти

Малките триъгълници с еднакъв цвят са равнолицеви.$$S_{ADA_1}=S_{AB_1A_1}=S_{ADC}=S_1$$ $$S_{ABC}=\cdots=S_2$$ $$S_{BCD}=\cdots=S_3$$ $$S_{ABD}=\cdots=S_4$$ $$S_{A_1B_1C_1D_1}=3S_1+3S_2+2S_3+2S_4~~(1)$$ $$S_{A_1B_1C_1D_1}=2S_1+2S_2+3S_3+3S_4~~(2)$$Събираме почленно $(1)$ и $(2)$ и получаваме $$2S_{A_1B_1C_1D_1}=5S_1+5S_2+5S_3+5S_4=5(\underbrace{S_1+S_2}_{=S_{ACBD}}+\underbrace{S_3+S_4}_{=S_{ABCD}})$$ $$\cancel{2}S_{A_1B_1C_1D_1}=5.\cancel{2}S_{ABCD}$$ $$S_{A_1B_1C_1D_1}=5S_{ABCD}$$

[Евва]

На мен ми хрумна да построя диагоналите АС и BD ,които се пресичат в т.О .
Нека [tex]S_{ABO }[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex] ,[tex]S_{BCO }[/tex]=[tex]S_{2 }[/tex] ,[tex]S_{OCD }[/tex]=[tex]S_{3 }[/tex] и [tex]S_{AOD }[/tex]=[tex]S_{4 }[/tex] .

BC е медиана в[tex]\triangle[/tex]A[tex]C_{1 }[/tex]C [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABC } =S_{B C_{1 } C}[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]
също [tex]C_{1 }[/tex]C е медиана в [tex]\triangle[/tex]B[tex]C_{1 }[/tex][tex]D_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{C C_{1 } D_{1 } }[/tex]=[tex]S_{B C_{1 }C }[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]

Скрит текст: покажи

По същата логика работим и с останалите тр-ци .

[tex]S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } D_{1 } }[/tex]=[tex]S_{A B_{1 }B }[/tex]+[tex]S_{ B_{1 } C_{1 }B }[/tex]+[tex]S_{B C_{1 }C }[/tex]+[tex]S_{C C_{1 } D_{1 } }[/tex]+[tex]S_{DC D_{1 } }[/tex]+[tex]S_{ A_{1 }D D_{1 } }[/tex]+[tex]S_{ A_{1 }AD }[/tex]+[tex]S_{ A_{1 } B_{1 }A }[/tex]+[tex]S_{ABCD }[/tex]=

=([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])+([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])+([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex])+([tex]S_{1 }+ S_{2 }[/tex])+([tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex])+([tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex])+([tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])+([tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])+([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])=

=5([tex]S_{1 } +S_{2}+S_{3}+S_{4}[/tex])=5[tex]S_{ABCD }[/tex]