Триъгълник

[nikola.topalov]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex]. Симетрата на [tex]AB[/tex] пресича отсечката [tex]AC[/tex] в [tex]M[/tex]. Нека [tex]H[/tex] е петата на перпендикуляра от [tex]M[/tex] до [tex]BC[/tex]. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex], при условие че [tex]AB=AM[/tex] и [tex]BH=HC+CM[/tex].

[Евва]

[tex]\alpha[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] , [tex]\beta[/tex]=80[tex]^\circ[/tex] , [tex]\gamma[/tex]=40[tex]^\circ[/tex]

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex]. Симетрата на [tex]AB[/tex] пресича отсечката [tex]AC[/tex] в [tex]M[/tex]. Нека [tex]H[/tex] е петата на перпендикуляра от [tex]M[/tex] до [tex]BC[/tex]. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex], при условие че [tex]AB=AM[/tex] и [tex]BH=HC+CM[/tex].

Без заглавие - 2021-10-15T220251.962.png (308.21 KiB) Прегледано 243 пъти

[tex]т.M \in S_{AB } \Rightarrow AM = BM[/tex]
По условие [tex]AB = AM \Rightarrow AB = BM = AM \Rightarrow \triangle ABM[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle MAB = \angle ABM = 60 ^\circ[/tex]
[tex]MH \bot BC , BH = HC + CM[/tex]
По метода на разгръщане на периметъра на продължението на страната $BC$ построявам т.$N$ така ,че $MC = NC$
Тогава [tex]\triangle MCN[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle MNC = \angle CMN = \varphi[/tex]
[tex]\angle MCH = 2 \varphi[/tex] като външен ъгъл за [tex]\triangle MCN[/tex]
[tex]\triangle BHM \cong \triangle NHM[/tex]
1) $BH = HC + CN = HC + CM$
2)$MH$ е обща
3) И двата триъгълника са правоъгълни
[tex]\Rightarrow \angle MNH = \angle MBH = \varphi[/tex]
Тогава за [tex]\triangle ABC \rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle A = 60 ^\circ , \angle B = 60 ^\circ + \varphi , \angle C = 2 \varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow60 ^\circ + 60 ^\circ + \varphi + 2 \varphi = 180 ^\circ \Leftrightarrow 3 \varphi = 60 ^\circ \Rightarrow \varphi = 20 ^\circ[/tex]
Получи се [tex]\angle B = 60 ^\circ + \varphi = 60 ^\circ + 20 ^\circ = 80 ^\circ , \angle C = 2 \varphi = 2.20 ^\circ = 40 ^\circ[/tex]
$$\angle A = 60 ^\circ , \angle B = 80 ^\circ , \angle C = 40 ^\circ $$

Скрит текст: покажи

Отговорът е същият който е получила и Евва

[Евва]

(2 начин) Построих точка Р ,която лежи на отсечката ВН така ,че НР= НС (1) .
Дадено е ВН= НС+СМ ; ВР +НР= НС +СМ ( виж (1) ) BP=CM (2)
Правата МН се явява симетрала на отсечката РС [tex]\Rightarrow[/tex] СМ=МР (3) .
Лесно се доказва ,че [tex]\triangle[/tex]АВМ е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]МАВ= [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\alpha[/tex] =60[tex]^\circ[/tex] .
Нека [tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\gamma[/tex] , от( 3 ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]МРС е равнобедрен - значи [tex]\angle[/tex]МРС= [tex]\angle[/tex]МСР= [tex]\gamma[/tex].
От (2) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex]ВР=МР т.е. [tex]\triangle[/tex]МВР е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВМР =[tex]\angle[/tex]МВР
За [tex]\triangle[/tex]МВР - ъгълът МРС =[tex]\gamma[/tex] се явява външен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]МВР+[tex]\angle[/tex]ВМР = [tex]\gamma[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ВМР =[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]( 4 )

[tex]\angle[/tex]AMC=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AMB+[tex]\angle[/tex]BMP+[tex]\angle[/tex]PMC=180[tex]^\circ[/tex]
60[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
60[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{3 \gamma }{2}[/tex] ; [tex]\gamma[/tex]=40[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ABC) [tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]+[tex]\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
60[tex]^\circ[/tex]+[tex]\beta[/tex]+40[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\beta[/tex]=80[tex]^\circ[/tex]