Три алгебрични задачи

[alys]

received_467399058149716~3.jpeg (47.38 KiB) Прегледано 303 пъти

Моля за решенията на 23, 26 и 27 задачи.

[pal702004]

23) Условието е равносилно на $(a-1)(b-1)=0$

26) Сбора от коефициентите на многолчена $f(y)$ е $f(1)$

27) Кърти мивки. Ако правилно виждам картинката трябва да се намери минимума на $A=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}$ при условие $x \ne y$, което няма как да стане, защото минимума е тъкмо при $x=y$, a $\dfrac x y$ може да е безкрайно близко до 1.

Ще го приемем за печатна грешка и условието е $x,y \ne 0$. Има много начини, неравенство на средни, но щом е за 7-ми клас може би трябва да се отдели точен квадрат:

$A=\left(\dfrac x y -\dfrac y x\right)^2+\cdots$

[ammornil]

(23)
[tex]a+b=ab+1 \Leftrightarrow ab+1-a-b=0 \Leftrightarrow a(b-1)-(b-1)=0 \Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0[/tex]

[tex]A=(ab)^{5}-a^{5}-b^{5}+1=a^{5}.b^{5}-a^{5}-b^{5}+1=a^{5}(b^{5}-1)-(b^{5}-1)=(a^{5}-1^{5})(b^{5}-1^{5})[/tex]

Изразите в скобите са формули, които не знам дали сте учили.
[tex]\begin{array}{l} (a^{5}-1^{5})=(a-1)(a^{4}+a^{3}1+a^{2}1^{2}+a1^{3}+1^{4}) \\ (b^{5}-1^{5})=(b-1)(b^{4}+b^{3}1+b^{2}1^{2}+b1^{3}+1^{4}) \end{array}[/tex]

[tex]A=(a^{5}-1^{5})(b^{5}-1^{5})=\underline{(a-1)}(a^{4}+a^{3}1+a^{2}1^{2}+a1^{3}+1^{4})\underline{(b-1)}(b^{4}+b^{3}1+b^{2}1^{2}+b1^{3}+1^{4})[/tex]
Вижда се, че произведението на двата израза съдържа произведението [tex](a-1)(b-1)=0[/tex], следователно [tex]A=0[/tex]

(26)
Сборът от коефициетите на един многочлен е стойността на многочлена, когато всички независими променливи са равни на 1. В нашия случай имаме само една променлива [tex]y[/tex]. Когато заместим [tex]y=1[/tex] първият множител [tex](y-1)=0[/tex], следователно и [tex]B(1)=0[/tex].
Отговорът на зададения въпрос е: Сумата от коефициентите на полинома в нормален вид е равна на нула.

(27)
Както вече е казано в предния отговор, изглежда че авторите на задачата са допуснали грешка в изписването на дефиницията за [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Предполагаме, че са имали в предвид [tex]x\ne0, y\ne0[/tex].
[tex]\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}-2.\frac{\cancel{x}}{\cancel{y}}.\frac{\cancel{y}}{\cancel{x}}+\frac{y^{2}}{x^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^{2}+2[/tex]
Тогава: [tex]A=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^{2}+2[/tex].
Изразът [tex]\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^{2}[/tex] е винаги неотрицателен, с други думи приема стойности по-големи или равни на нула (защото всяко число повдигнато на четна степен дава неотрицателен резултат). Оттук следва, че [tex]А[/tex] ще има най-малка стойност, когато изразът в скобите е равен на нула и тогава [tex]А_{min}=0+2=2[/tex].

[Гост]

Много благодаря!
Как се ползват бутоните, за да се изписват формулите?
Относно 27-ма: Според мене и при зададеното условие минималната стойност е 2, защото точният квадрат става 0 при два варианта: при х=у и при х=-у като първият случай не отговаря на условието, но остава вторият.

[Гост]

В 23-та не може ли просто да се замести с а=1 и в=1 ?

[alys]

Без да искам съм писала като Гост.
Като помислих малко, последното предложение да се замести, не би било коректно, защото не е задължително едновременно а и b да са равни на 1.

С бутоните се справих. Писала съм като Гост, а тогава се изисква отговор на въпрос, преди да даде Преглед.

[ammornil]

Как се ползват бутоните, за да се изписват формулите?

LaTex е език, предназначен за писане на формули. Специалните означения се задават с команди, които винаги започват с "\".
По-популятните математически означения можеш да намериш тук: http://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols