Нека скоростите на двете лодки в спокойни води са [tex]v_{A}[/tex] и [tex]v_B[/tex], а скоростта на течението е [tex]v_T[/tex].
Разглеждаме два случая:
I. Течението е в посока от A към B.
Имаме, че лодката от А тръгва с [tex]t=30min=\frac{1}{2 }h[/tex] по-рано от другата... Съставяме уравнение за пътя, който е изминат общо от двете лодки. Той е равен на сумата от пътищата им до срещата.
[tex]S=S_1+S_2=v_1.t_1+v_2.t_2[/tex]
Знаем, че двете лодки се срещат в определен момент [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_1=t_2+t[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_2=t_1-t[/tex]
Освен това [tex]v_1=v_A+v_T[/tex], а [tex]v_2=v_B-v_T[/tex].
Заместваме в израза за [tex]S[/tex]: [tex]S=v_1.t_1+v_2.t_2=\left(v_A+v_T\right)t_1+\left(v_B-v_T\right)\left(t_1-t\right)=[/tex]
[tex]=v_A.t_1+\cancel{v_T.t_1}+v_B.t_1-v_B.t-\cancel{v_T.t_1}+v_T.t[/tex]
[tex]S=v_A.t_1+v_B.t_1-v_B.t+v_T.t[/tex](
1.)
Имаме, че лодката от B тръгва с [tex]t'=1h38min=1\frac{38}{60 } h=1\frac{19}{30 }h=\frac{49}{30 }h[/tex] по-рано от другата... Съставяме уравнение за пътя, който е изминат общо от двете лодки. Той е равен на сумата от пътищата им до срещата.
[tex]S=S_1'+S_2'=v_1.t_1'+v_2.t_2'[/tex]
Знаем, че двете лодки се срещат в определен момент [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_2'=t_1'+t'[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_1'=t_2'-t'[/tex]
Освен това [tex]v_1=v_A+v_T[/tex], а [tex]v_2=v_B-v_T[/tex].
Заместваме в израза за [tex]S[/tex]: [tex]S=v_1.t_1'+v_2.t_2'=\left(v_A+v_T\right)\left(t_2'-t'\right)+\left(v_B-v_T\right)t_2'=[/tex]
[tex]=v_A.t_2'-v_A.t'+\cancel{v_T.t_2'}-v_T.t'+v_B.t_2'-\cancel{v_T.t_2'}[/tex]
[tex]S=v_A.t_2'-v_A.t'-v_T.t'+v_B.t_2'[/tex](
2.)
Приравняваме десните страни на
1. и
2.:
[tex]v_A.t_1+v_B.t_1-v_B.t+v_T.t=v_A.t_2'-v_A.t'-v_T.t'+v_B.t_2'[/tex]
[tex]v_T\left(t+t'\right)=v_A\left(t_2'-t'-t_1\right)+v_B\left(t_2'+t-t_1\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]v_T=\frac{v_A\left(t_2'-t'-t_1\right)+v_B\left(t_2'+t-t_1\right)}{t+t' }[/tex]
Заместваме с числените стойности: [tex]t=\frac{1}{2 } h[/tex], [tex]t'=\frac{49}{30 }h[/tex], [tex]t_1=1h30min=1\frac{1}{2 }h=\frac{3}{2 } h[/tex], [tex]t_2'=2h12min=2\frac{12}{60 }h=2\frac{1}{5 }h=\frac{11}{5 }h[/tex], [tex]v_A=15\frac{km}{h}[/tex] и [tex]v_B=17\frac{km}{h}[/tex].
[tex]v_T=\frac{15.\left(\frac{11}{5 }-\frac{49}{30 }-\frac{3}{2 }\right)+17.\left(\frac{11}{5 }+\frac{1}{2 } -\frac{3}{2 }\right) }{\frac{1}{2}+\frac{49}{30 } }=\frac{15.\left(\frac{66}{30 }-\frac{49}{30 }-\frac{45}{30 }\right)+17.\left(\frac{66}{30 }+\frac{15}{30 } -\frac{45}{30 }\right) }{\frac{15}{30 }+\frac{49}{30} }=\frac{15.\left(-\frac{28}{30 }\right)+17.\frac{36}{30 } }{\frac{64}{30 } }[/tex]
[tex]v_T=\frac{-\frac{420}{30} +\frac{612}{30 }}{\frac{64}{30 } }=\frac{\frac{192}{\cancel{30} } }{\frac{64}{\cancel{30} } } =3\frac{km}{h }[/tex]
Намираме общия път :
[tex]S=v_A.t_1+v_B.t_1-v_B.t+v_T.t=15.\frac{3}{2}+17.\frac{3}{2}-17.\frac{1}{2}+3.\frac{1}{2}=\frac{45}{2}+\frac{51}{2}-\frac{17}{2}+\frac{3}{2}=\frac{82}{2 } =41km[/tex]
II. Течението е в посока от B към A.
Имаме, че лодката от А тръгва с [tex]t=30min=\frac{1}{2 }h[/tex] по-рано от другата... Съставяме уравнение за пътя, който е изминат общо от двете лодки. Той е равен на сумата от пътищата им до срещата.
[tex]S=S_1+S_2=v_1.t_1+v_2.t_2[/tex]
Знаем, че двете лодки се срещат в определен момент [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_1=t_2+t[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_2=t_1-t[/tex]
Освен това [tex]v_1=v_A-v_T[/tex], а [tex]v_2=v_B+v_T[/tex].
Заместваме в израза за [tex]S[/tex]: [tex]S=v_1.t_1+v_2.t_2=\left(v_A-v_T\right)t_1+\left(v_B+v_T\right)\left(t_1-t\right)=[/tex]
[tex]=v_A.t_1-\cancel{v_T.t_1}+v_B.t_1-v_B.t+\cancel{v_T.t_1}-v_T.t[/tex]
[tex]S=v_A.t_1+v_B.t_1-v_B.t-v_T.t[/tex](
1.)
Имаме, че лодката от B тръгва с [tex]t'=1h38min=1\frac{38}{60 } h=1\frac{19}{30 }h=\frac{49}{30 }h[/tex] по-рано от другата... Съставяме уравнение за пътя, който е изминат общо от двете лодки. Той е равен на сумата от пътищата им до срещата.
[tex]S=S_1'+S_2'=v_1.t_1'+v_2.t_2'[/tex]
Знаем, че двете лодки се срещат в определен момент [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_2'=t_1'+t'[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_1'=t_2'-t'[/tex]
Освен това [tex]v_1=v_A-v_T[/tex], а [tex]v_2=v_B+v_T[/tex].
Заместваме в израза за [tex]S[/tex]: [tex]S=v_1.t_1'+v_2.t_2'=\left(v_A-v_T\right)\left(t_2'-t'\right)+\left(v_B+v_T\right)t_2'=[/tex]
[tex]=v_A.t_2'-v_A.t'-\cancel{v_T.t_2'}+v_T.t'+v_B.t_2'+\cancel{v_T.t_2'}[/tex]
[tex]S=v_A.t_2'-v_A.t'+v_T.t'+v_B.t_2'[/tex](
2.)
Приравняваме десните страни на
1. и
2.:
[tex]v_A.t_1+v_B.t_1-v_B.t-v_T.t=v_A.t_2'-v_A.t'+v_T.t'+v_B.t_2'[/tex]
[tex]v_T\left(t+t'\right)=v_A\left(t_1'+t'-t_2'\right)+v_B\left(t_1'-t-t_2'\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]v_T=\frac{v_A\left(t_1'+t'-t_2'\right)+v_B\left(t_1'-t-t_2'\right)}{t+t' }[/tex]
Заместваме с числените стойности: [tex]t=\frac{1}{2 } h[/tex], [tex]t'=\frac{49}{30 }h[/tex], [tex]t_1=1h30min=1\frac{1}{2 }h=\frac{3}{2 } h[/tex], [tex]t_2'=2h12min=2\frac{12}{60 }h=2\frac{1}{5 }h=\frac{11}{5 }h[/tex], [tex]v_A=15\frac{km}{h}[/tex] и [tex]v_B=17\frac{km}{h}[/tex].
[tex]v_T=\frac{15.\left(\frac{3}{2 }+\frac{49}{30 }-\frac{11}{5 }\right)+17.\left(\frac{3}{2 }-\frac{1}{2 } -\frac{11}{5 }\right) }{\frac{1}{2}+\frac{49}{30 } }=\frac{15.\left(\frac{45}{30 }+\frac{49}{30 }-\frac{66}{30 }\right)+17.\left(\frac{45}{30 }-\frac{15}{30 } -\frac{66}{30 }\right) }{\frac{15}{30}+\frac{49}{30 } }=\frac{15.\frac{28}{30 }+17.\left(-\frac{36}{30 } \right)}{\frac{64}{30 } }[/tex]
[tex]v_T=\frac{\frac{420}{30} -\frac{612}{30 }}{\frac{64}{30 } }=\frac{-\frac{192}{\cancel{30} } }{\frac{64}{\cancel{30} } } =-3\frac{km}{h }[/tex]
Иначе казано, течението е винаги по посока от A към B. Затова, когато приемем, че е от B към A, се получава същата по големина скорост, но с противоположна посока.
Намираме общия път :
[tex]S=v_A.t_1+v_B.t_1-v_B.t-v_T.t=15.\frac{3}{2}+17.\frac{3}{2}-17.\frac{1}{2}-\left(-3\right).\frac{1}{2}=\frac{45}{2}+\frac{51}{2}-\frac{17}{2}+\frac{3}{2}=\frac{82}{2 } =41km[/tex]
Меню
