Задачи за движение и работа

[Гост]

Здравейте!
Имам нуждa от помощ за следните 4 задачи:
1. На отиване към училище Сашо вървял покрай железопътна линия и бил настигнат от влак, който преминал край него за 9 s. На връщане от училище Сашо срещнал друг влак със същата дължина,който преминал край него за 7 секунди. Скоростта на Сашо била 6 км/ч. Намерете дължината на влаковете ако те са се движили с една и съща постоянна скорост.

2. Две фирми пекат един и същ вид банички, но производителността на втората фирма е два пъти по-голяма от тази на първата фирма. Първата фирма започва работа в 6ч., а втората в 7ч 30 мин. До колко часа трябва да работи първата фирма,за да изпече толкова банички,колкото изпича втората фирма до 12ч?

3. Фирма започнала да строи едновременно две еднакви къщи. За строежа на едната къща изпратили 18 работници, а на другата -12. Всички работници работели с еднаква производителност. Когато по-малката група извършила половината от работата, ръководителите на фирмта решили да предадат едновременно двата обекта. колко нови работници са изпратили при по-малката група?

4. В едно училище 90 седмокласници изучават немски и английски. Тези,които учат немски са с 10% по-малко от изучаващите английски,а тези,които не учат английски са с 6 по-малко от тези,които не учат немски. Колко седмокласници изучават немски и английски?

Благодаря предварително!

[ammornil]

1. На отиване към училище Сашо вървял покрай железопътна линия и бил настигнат от влак, който преминал край него за 9 s. На връщане от училище Сашо срещнал друг влак със същата дължина,който преминал край него за 7 секунди. Скоростта на Сашо била 6 км/ч. Намерете дължината на влаковете ако те са се движили с една и съща постоянна скорост.

От условието на задачата следва да заключим, че и двата влака са се движили в еднаква посока. Първият се е движил съпосочно със Сашо, а вторият- насреща. Причината за това заключение е разликата във времето за разминаване. Ако влаковете са с еднаква дължина, движат се с еднаква скорост и Сашо се движи с постоянна скорост и в двата случая, то ако и двата влака се движат по посока на движение на Сашо по времето на разминатаването, раминаването ще отнеме еднакво време. Понеже по условие това не е така, следват горепосочените закл#чения.

Нека дължината на влаковите композиции е [tex]x[/tex] км. (мерките за всички величини трябва да са е еднаква скала: в нашия случай времето ще е в часове, скоростта в киломентри в час, а дължините в километри).
[tex]9s=\frac{9}{3600}h=\frac{1}{400}\ h[/tex], пътят изминат от Сашо за това време със скорост [tex]v=6\ km/h[/tex] е [tex]s_{1}=v.t_{1}=6.\frac{1}{400}=\frac{3}{200} \ km[/tex].

[tex]7s=\frac{7}{3600}\ h[/tex], пътят изминат от Сашо за това време със скорост [tex]v=6\ km/h[/tex] е [tex]s_{2}=v.t_{2}=6.\frac{7}{3600}=\frac{7}{600}\ km[/tex].

Когато влакът и Сашо се движат в еднаква посока, пътят изминат от влака по време на разминаване е равен на дължината на влака плюс пътя изминат от Сашо по време на разминаването.
Когато влакът и Сашо се движат в противоположни посоки, пътят изминат от влака по време на разминаване е равен на дължината на влака минус пътя изминат от Сашо по време на разминаването.

Движението на двата влака по време на разминаванията им със Сашо се описват с таблицата:
[tex]\begin{matrix} влак & време & път & скорост \\ 1 & \frac{1}{400} \ h & \Large{x+\frac{3}{200}=\frac{200x+3}{200}}\normalsize{ \ km} & \Large{\frac{200x+3}{200}: \frac{1}{400}=\frac{200x+3}{200}. \frac{400}{1}}=\normalsize{2(200x+3) \ km/h} \\ \\ 2 & \frac{7}{3600} \ h & \Large{x-\frac{7}{600}=\frac{600x-7}{600}}\normalsize{ \ km} & \Large{\frac{600x-7}{600}: \frac{7}{3600}= \frac{600x-7}{600}. \frac{3600}{7}}= \Large{\frac{6.(600x-7)}{7}}\normalsize{ \ km/h} \end{matrix}[/tex]

Скоростите на двата влака са равни по условие, следователно:
[tex]2(200x+3)=\frac{6.(600x-7)}{7} |:2 \Leftrightarrow 200x+3=\frac{3.(600x-7)}{7} \Leftrightarrow 7(200x+3)=3(600x-7) \Leftrightarrow 1400x+21=1800x-21 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]400x=42 \Leftrightarrow x=\frac{42}{400}=\frac{21}{200}\ km[/tex]
[tex]1km = 1000m \Rightarrow x=\frac{21}{200}\ km=\frac{21}{200}.1000m=21.5=100 \ m[/tex]

Всеки от влаковете е бил с дължина от 100 метра.

[ammornil]

2. Две фирми пекат един и същ вид банички, но производителността на втората фирма е два пъти по-голяма от тази на първата фирма. Първата фирма започва работа в 6ч., а втората в 7ч 30 мин. До колко часа трябва да работи първата фирма,за да изпече толкова банички,колкото изпича втората фирма до 12ч?

Нека производителността на втората фирма е [tex]2x[/tex] банички на час, тогава производителността на първата фирма е [tex]x[/tex] банички на час.

От 07:30 до 12:00 часа има [tex]12:00-07:30 = 11:60-07:30=04:30[/tex]- четири часа и тридесет минути.
Това време можем да сметнем и по следния втори начин: [tex]12-7\frac{30}{60}=11\frac{60}{60}-7\frac{30}{60}=4\frac{30}{60}=4\frac{1}{2} \ h[/tex]- четири часа и тридесет минути.

За това време втората фирма е изпекла: [tex]4\frac{1}{2}.2x=\frac{9}{2}.2x=9x[/tex] банички.

Същото количество, първата фирма ще изпече за време [tex]t=\frac{A}{N}=\frac{9x}{x}=9 \ h[/tex].

Първата фирма ще трябва да работи девет часа за да произведе количеството банички, и понеже започнала работа в 6:00 ще работи до 15:00 часа.

[ammornil]

3. Фирма започнала да строи едновременно две еднакви къщи. За строежа на едната къща изпратили 18 работници, а на другата -12. Всички работници работели с еднаква производителност. Когато по-малката група извършила половината от работата, ръководителите на фирмта решили да предадат едновременно двата обекта. колко нови работници са изпратили при по-малката група?

Нека производителността на един работник да е [tex]x[/tex] части от къщата на ден.

Времето, за което 18 работика биха построили къщата е [tex]\frac{1}{18x}[/tex] дни. Половината от това време е [tex]\frac{1}{2}.\frac{1}{18x}=\frac{1}{36x}[/tex], за което време първата къща била построена на половина и за довършването и ще трябват още толкова дни работа.

Втората къща за това време има издигната част [tex]\frac{1}{36x}.12x=\frac{1}{3}[/tex]. Тоест, остават да се построят [tex]\frac{2}{3}[/tex] от втората къща, които трябва да се завършат за време [tex]\frac{1}{36x}[/tex], за да приключат строежите едновременно.

Колко работника с производителност [tex]x[/tex] части от къщата на ден са необходими, за да се построят [tex]\frac{2}{3}[/tex] от втората къща за време [tex]\frac{1}{36x}[/tex]?
Един работник за време [tex]\frac{1}{36x}[/tex] свършва работа [tex]А_{1}=x.\frac{1}{36x}=\frac{1}{36}[/tex], следователно за свършване на [tex]\frac{2}{3}[/tex] от втората къща ни трябват:
[tex]n=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{36}}=\frac{2.36}{3.1}=2.12=24[/tex]работника.

На строежа на втората къща вече има 12 работника, значи трябва да се изпратят още 12 работника.

[ammornil]

4. В едно училище 90 седмокласници изучават немски и английски. Тези,които учат немски са с 10% по-малко от изучаващите английски,а тези,които не учат английски са с 6 по-малко от тези,които не учат немски. Колко седмокласници изучават немски и английски?

Очевидният отговор е 90. Даден е в първото изречение на задачата.

--
Който е задал задачата, трябва да поясни дали това е "уловката", или се има в предвид, че 90 седмокласници учат поне един от двата езика, и се търси колко от тях учат и двата. Ако това е въпросът то решението би било възможно, според мен, само ако се използва повече от едно неизвестно, което май не се учи в седми клас.

[Гост]

Много благодаря!
На първата отговорът в учебника е 150 м за влаковете. Аз по никакъв начин не мога да го получа. По принцип го решавах със срещуположно движение.
На четвъртата отговорът е 24. Може би питат колко изучават двата езика едновременно.
Задачите са от сборник на просвета за подготовка за матура и са за втори модул. Дъщеря ми ги има за домашно,но доста трудни се оказаха и за нея ,и за мен:)
Пак ви благодаря за отделеното време!

[ammornil]

Много благодаря!
На първата отговорът в учебника е 150 м за влаковете. Аз по никакъв начин не мога да го получа. По принцип го решавах със срещуположно движение.
На четвъртата отговорът е 24. Може би питат колко изучават двата езика едновременно.
Задачите са от сборник на просвета за подготовка за матура и са за втори модул. Дъщеря ми ги има за домашно,но доста трудни се оказаха и за нея ,и за мен:)
Пак ви благодаря за отделеното време!

В същност отговорът на първата излиза 105 м ([tex]5.21[/tex]), извинете за грешката.

Не мога да измисля начин със знанията за седми клас да реша четвъртата задача. Може би някой от математиците ще се включи след празниците с решение.

Всичко добро и весели празници.

[ammornil]

4. В едно училище 90 седмокласници изучават поне един от езиците немски и английски. Тези,които учат немски са с 10% по-малко от изучаващите английски,а тези,които не учат английски са с 6 по-малко от тези,които не учат немски. Колко седмокласници изучават немски и английски?

Нека, учениците които изучават и двата езика означим с [tex]x[/tex].
Нека учещите само английски са [tex]a[/tex] на брой, а тези учещи немски са [tex]b[/tex] на брой.
От условието можем да съставим следните връзки:
(1) [tex]a+b+x=90[/tex]
(2) [tex]b+x=a+x-\frac{1}{10}(a+x) \Leftrightarrow b+x=\frac{9}{10}(a+x) \Leftrightarrow 10b+10x=9a+9x \Leftrightarrow x=9a-10b[/tex]
(3) [tex]a-b=6 \Rightarrow a=6+b[/tex]
Тогава, змествайки (3) в (1) получаваме: [tex]a+b+x=90 \Rightarrow 6+b+b+x=90 \Leftrightarrow 2b=84-x[/tex]. Ще наречем това ново равенство номер (4).

Второто равенство можем също да преобразуваме като заместим [tex]a[/tex] от равенство (3) в равенство (2):[tex]x=9(6+b)-10b[/tex]
[tex]\Rightarrow x=54+9b-10b \Rightarrow b=54-x[/tex] (равенство 5)

Замстваме (5) в (4) и получаваме: [tex]2.(54-x)=84-x \Leftrightarrow 108-2x=84-x \Rightarrow 108-84 = -x+2x \Rightarrow x=24[/tex]

[Гост]

Ами много Ви благодаряи на Вас! Едва ли щяхме да се справим. Не са лесни задачките.
Весели празници!

[inveidar]

4 задача. Нека тези, които учат английски са [tex]x[/tex]. Тогава тези, които не учат английски са [tex]90 - x[/tex]. Така получаваме, че тези, които учат немски са [tex]90 \% .x[/tex], а тези, които не учат немски са [tex]90 - 90 \% .x[/tex].
[tex]90-x+6=90- \frac{90}{100} x[/tex]
[tex]x=60[/tex] - учениците, изучаващи английски.
[tex]90 \% x=54[/tex] - учениците, изучаващи немски.
[tex]60+54-90=24[/tex] учат едновременно английски и немски.

[inveidar]

2 задача. Когато влакът идва срещу Сашо, то можем да приемем, ча Сашо е неподвижен, а влакът минава край него със скорост [tex]x+6[/tex], където [tex]x[/tex] е скоростта на влака в km/h. Когато влакът настига Сашо можем да приемем, че Сашо е неподвижен, а влакът преминава край него със скорост [tex]x-6[/tex] km/h.
[tex](x-6). \frac{9}{3600} =(x+6). \frac{7}{3600}[/tex]
[tex]x=48[/tex] km/h
Дължината на влака е [tex](48+6).\frac{7}{3600}.1000=105[/tex] метра.

[inveidar]

3. Фирма започнала да строи едновременно две еднакви къщи. За строежа на едната къща изпратили 18 работници, а на другата -12. Всички работници работели с еднаква производителност. Когато по-малката група извършила половината от работата, ръководителите на фирмта решили да предадат едновременно двата обекта. колко нови работници са изпратили при по-малката група?

Нека производителността на един работник да е [tex]x[/tex] части от къщата на ден.

Времето, за което 18 работика биха построили къщата е [tex]\frac{1}{18x}[/tex] дни. Половината от това време е [tex]\frac{1}{2}.\frac{1}{18x}=\frac{1}{36x}[/tex], за което време първата къща била построена на половина и за довършването и ще трябват още толкова дни работа.

Втората къща за това време има издигната част [tex]\frac{1}{36x}.12x=\frac{1}{3}[/tex]. Тоест, остават да се построят [tex]\frac{2}{3}[/tex] от втората къща, които трябва да се завършат за време [tex]\frac{1}{36x}[/tex], за да приключат строежите едновременно.

Колко работника с производителност [tex]x[/tex] части от къщата на ден са необходими, за да се построят [tex]\frac{2}{3}[/tex] от втората къща за време [tex]\frac{1}{36x}[/tex]?
Един работник за време [tex]\frac{1}{36x}[/tex] свършва работа [tex]А_{1}=x.\frac{1}{36x}=\frac{1}{36}[/tex], следователно за свършване на [tex]\frac{2}{3}[/tex] от втората къща ни трябват:
[tex]n=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{36}}=\frac{2.36}{3.1}=2.12=24[/tex]работника.

На строежа на втората къща вече има 12 работника, значи трябва да се изпратят още 12 работника.

Когато групата от 12 човека е свършила половината от работата, то групата от 18 човека е свършила [tex]\frac{18}{12}. \frac{1}{2}= \frac{3}{4}[/tex] от работата си. На по-малката група и остава половината от работата, а на по-голямата - четвъртина от работата. Производителността е еднаква. Всеки работник от по-голямата група трябва да свърши [tex]\frac{1}{4}
:18 =\frac{1}{72}[/tex]. Тогава [tex](12+x). \frac{1}{72}= \frac{1}{2}[/tex], откъдето [tex]x=24[/tex]. Трябва да дойдат 24 нови работници, а не 12.