Квадрат 7 клас

[Гост]

На страните BC и CD на квадрата ABCD са взети съответно точки H и N така, че ъгъл АНB е равен на ъгъл AHN. Намерете големината на ъгъл HAN.

[Евва]

Да построим височината АР в [tex]\triangle[/tex]AHN . Нека [tex]\angle[/tex]AHB=[tex]\angle[/tex]AHN=[tex]\alpha[/tex]
Това означава ,че правата НА се явява ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BHN .
Знаем ,че всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата т.е. AP=AB (1)

([tex]\triangle[/tex]ABH) [tex]\angle[/tex]BAH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] =90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AHP) [tex]\angle[/tex]PAH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] ; [tex]\angle[/tex]PAH=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] (2)

Намираме [tex]\angle[/tex]DAP=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]BAH-[tex]\angle[/tex]PAH
[tex]\angle[/tex]DAP=90[tex]^\circ[/tex]-(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])-(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])
[tex]\angle[/tex]DAP=2[tex]\alpha[/tex]-90[tex]^\circ[/tex] (3)

Разглеждаме правоъгълните [tex]\triangle[/tex]APN и [tex]\triangle[/tex]AND .
1. AP=AD [виж (1) ]
2. AN=AN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]APN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]AND [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\angle[/tex]NAD

[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\angle[/tex]NAD=[tex]\frac{ ъгъл DAP }{2}[/tex] [ от (3) ] = [tex]\frac{2 \alpha-90 ^\circ }{2}[/tex]
[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\alpha[/tex]-45[tex]^\circ[/tex] (4)

[tex]\angle[/tex]HAN=[tex]\angle[/tex]PAH+[tex]\angle[/tex]NAP [ прилагаме (2) и (4) ]
[tex]\angle[/tex]HAN=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]HAN=45[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Да построим височината АР в [tex]\triangle[/tex]AHN . Нека [tex]\angle[/tex]AHB=[tex]\angle[/tex]AHN=[tex]\alpha[/tex]
Това означава ,че правата НА се явява ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BHN .
Знаем ,че всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата т.е. AP=AB (1)

([tex]\triangle[/tex]ABH) [tex]\angle[/tex]BAH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] =90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AHP) [tex]\angle[/tex]PAH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] ; [tex]\angle[/tex]PAH=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] (2)

Намираме [tex]\angle[/tex]DAP=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]BAH-[tex]\angle[/tex]PAH
[tex]\angle[/tex]DAP=90[tex]^\circ[/tex]-(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])-(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])
[tex]\angle[/tex]DAP=2[tex]\alpha[/tex]-90[tex]^\circ[/tex] (3)

Разглеждаме правоъгълните [tex]\triangle[/tex]APN и [tex]\triangle[/tex]AND .
1. AP=AD [виж (1) ]
2. AN=AN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]APN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]AND [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\angle[/tex]NAD

[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\angle[/tex]NAD=[tex]\frac{ ъгъл DAP }{2}[/tex] [ от (3) ] = [tex]\frac{2 \alpha-90 ^\circ }{2}[/tex]
[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\alpha[/tex]-45[tex]^\circ[/tex] (4)

[tex]\angle[/tex]HAN=[tex]\angle[/tex]PAH+[tex]\angle[/tex]NAP [ прилагаме (2) и (4) ]
[tex]\angle[/tex]HAN=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]HAN=45[tex]^\circ[/tex]

Благодаря, много!