Триъгълник и ъгли 7кл.

[Гост]

В ∆АВС [tex]\alpha[/tex] : [tex]\beta[/tex] : [tex]\gamma[/tex] = 2:9:7. Външно за триъгълника е построен квадратът ACDE. Aко AD пресича СЕ в точка О, намерете големината на ъгъл ВОС в градуси.

[pal702004]

Ъглите са $\angle A=20^\circ,\;\angle B=90^\circ,\;\angle C=70^\circ$

Около четириъгълника $ABCO$ може да се опише окръжност, понеже ъглите B и O са прави. Следователно $\angle BOC= \angle BAC=20^\circ$, понеже имат обща прилежаща дъга $BC$.

Дано да става за 7-ми клас.

[Гост]

Ъглите са $\angle A=20^\circ,\;\angle B=90^\circ,\;\angle C=70^\circ$

Около четириъгълника $ABCO$ може да се опише окръжност, понеже ъглите B и O са прави. Следователно $\angle BOC= \angle BAC=20^\circ$, понеже имат обща прилежаща дъга $BC$.

Дано да става за 7-ми клас.

Съжалявам, но това не сме учили. Това са задачи от раздел за успоредник след еднакви триъгълници. Явно някъде нещо не виждам...

[Евва]

[tex]\angle[/tex]ВОС=[tex]\varphi[/tex]=?
Лесно намираме [tex]\alpha[/tex]=20[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\beta[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\gamma[/tex]=70[tex]^\circ[/tex]
Нека т.Н лежи на правата ВС така ,че DH[tex]\bot[/tex]BC .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]CHD
1. AC=DC
2. [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\angle[/tex]DCH=20[tex]^\circ[/tex] ([tex]\angle[/tex]DCH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-70[tex]^\circ[/tex])
3. [tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]CDH=70[tex]^\circ[/tex]
по 2 признак [tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]CHD [tex]\Rightarrow[/tex] BC=DH (1)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]BCO и [tex]\triangle[/tex]OHD
1. BC=DH
2. OC=OD
3. [tex]\angle[/tex]BCO=[tex]\angle[/tex]HDO=70[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]
по 1 признак [tex]\triangle[/tex]BCO[tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]OHD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOC=[tex]\angle[/tex]HOD=[tex]\varphi[/tex] (2) и BO=HO (3)

[tex]\angle[/tex]AOB=[tex]\angle[/tex]AOC-[tex]\angle[/tex]BOC
[tex]\angle[/tex]AOB=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex] (4)
[tex]\angle[/tex]BOH=?
[tex]\angle[/tex]BOH+[tex]\angle[/tex]AOB+[tex]\angle[/tex]HOD=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOH+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex]+[tex]\varphi[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOH=90[tex]^\circ[/tex] (5)

( За [tex]\triangle[/tex]ОВН ) От (3) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] той е правоъгълен и равнобедрен т.е.
[tex]\angle[/tex]OBH=[tex]\angle[/tex]OHB=45[tex]^\circ[/tex] (6)

([tex]\triangle[/tex]OBC) [tex]\angle[/tex]BOC+[tex]\angle[/tex]OBC+[tex]\angle[/tex]BCO=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOC+45[tex]^\circ[/tex]+(70[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]) =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOC+160[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOC=20[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

[tex]\angle[/tex]ВОС=[tex]\varphi[/tex]=?
Лесно намираме [tex]\alpha[/tex]=20[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\beta[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\gamma[/tex]=70[tex]^\circ[/tex]
Нека т.Н лежи на правата ВС така ,че DH[tex]\bot[/tex]BC .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]CHD
1. AC=DC
2. [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\angle[/tex]DCH=20[tex]^\circ[/tex] ([tex]\angle[/tex]DCH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-70[tex]^\circ[/tex])
3. [tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]CDH=70[tex]^\circ[/tex]
по 2 признак [tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]CHD [tex]\Rightarrow[/tex] BC=DH (1)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]BCO и [tex]\triangle[/tex]OHD
1. BC=DH
2. OC=OD
3. [tex]\angle[/tex]BCO=[tex]\angle[/tex]HDO=70[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]
по 1 признак [tex]\triangle[/tex]BCO[tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]OHD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOC=[tex]\angle[/tex]HOD=[tex]\varphi[/tex] (2) и BO=HO (3)

[tex]\angle[/tex]AOB=[tex]\angle[/tex]AOC-[tex]\angle[/tex]BOC
[tex]\angle[/tex]AOB=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex] (4)
[tex]\angle[/tex]BOH=?
[tex]\angle[/tex]BOH+[tex]\angle[/tex]AOB+[tex]\angle[/tex]HOD=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOH+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex]+[tex]\varphi[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOH=90[tex]^\circ[/tex] (5)

( За [tex]\triangle[/tex]ОВН ) От (3) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] той е правоъгълен и равнобедрен т.е.
[tex]\angle[/tex]OBH=[tex]\angle[/tex]OHB=45[tex]^\circ[/tex] (6)

([tex]\triangle[/tex]OBC) [tex]\angle[/tex]BOC+[tex]\angle[/tex]OBC+[tex]\angle[/tex]BCO=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOC+45[tex]^\circ[/tex]+(70[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]) =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOC+160[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOC=20[tex]^\circ[/tex]

Благодаря Евва.