Задача по геометрия с обиколки

[Гост]

Точките P и Q са от страните АС и ВС на триъгълник АВС такива,че Р на триъгълник АВР = Р на триъгълник ABQ и Р на триъгълник AQC = P на триъгълник BPC. Докажете, че триъгълник АВС е равнобедрен.

[Евва]

Да означим AQ=m ,BP=n ,BQ=a ,AP=b ,CQ=c ,CP=d .

[tex]P_{ABP }[/tex]=[tex]P_{ABQ }[/tex]
AB+n+b=AB+a+m
n-m=a-b (1)

[tex]P_{AQC }[/tex]=[tex]P_{BPC }[/tex]
m+c+d+b=n+a+c+d
m-n=a-b |.(-1)[tex]\ne[/tex]0
n-m=b-a (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] a-b=b-a т.е. a=b (3)
[ заместваме (3) в (1) ] n-m=b-b ; n=m (4)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABP и [tex]\triangle[/tex]ABQ
1.AB=AB
2.AP=BQ ( от (3) )
3.BP=AQ ( от (4) ) [tex]\Rightarrow[/tex] по 3 признак [tex]\triangle[/tex]ABP[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ABQ [tex]\Rightarrow[/tex] съответните им ъгли са равни т.е. [tex]\angle[/tex]PAB=[tex]\angle[/tex]ABQ
Тогава [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\angle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABC е равнобедрен с бедра АС и ВС .