За любителите на допълнителните построения

[nikola.topalov]

Даден е четириъгълник [tex]ABCD[/tex], за който [tex]AD=DC=CB[/tex] и [tex]\angle BAD=2\angle ABC=80^\circ[/tex]. Да се намери ъгълът между диагоналите му.

[Евва]

Първото което ми хрумна , е да построя правите AD и BC , нека те се пресичат в т.Е .
Отсечките AC и BD се пресичат в т.О .
Означаваме [tex]\angle[/tex]DAC с [tex]\alpha[/tex] .

([tex]\triangle[/tex]ABE) [tex]\angle[/tex]AEB=180[tex]^\circ[/tex]-80[tex]^\circ[/tex]-40[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ACE) [tex]\angle[/tex]ACE=180[tex]^\circ[/tex]-(60[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])=120[tex]^\circ - \alpha[/tex]

От AD=DC имаме равнобедрен [tex]\triangle[/tex]ACD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]DCE =[tex]\angle[/tex]ACE-[tex]\angle[/tex]ACD=120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha - \alpha[/tex]=120[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]
Съседният му [tex]\angle[/tex]BCD=180[tex]^\circ[/tex]-(120[tex]^\circ[/tex] -2[tex]\alpha[/tex]) т.е. [tex]\angle[/tex]BCD=60[tex]^\circ[/tex]+2[tex]\alpha[/tex]

От BC=CD имаме равнобедрен [tex]\triangle[/tex]DBC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DBC=[tex]\angle[/tex]BDC=[tex]\frac{1}{2}[/tex](180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]BCD)=[tex]\frac{1}{2}[/tex](180[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex])=60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

Тогава [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]ABC-[tex]\angle[/tex]DBC=40[tex]^\circ[/tex]-(60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=[tex]\alpha[/tex]-20[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\angle[/tex]BAD-[tex]\angle[/tex]DAC=80[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABO) [tex]\angle[/tex]AOB+[tex]\angle[/tex]OAB+[tex]\angle[/tex]ABO=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AOB+80[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]-20[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AOB=120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] съседният му [tex]\angle[/tex]AOD=60[tex]^\circ[/tex]