Задача за ромб - седми клас

[Гост]

В ромба ABCD [tex]\angle[/tex] ABC = 120[tex]^\circ[/tex], AC = 42 cm. BM (M [tex]\in[/tex] AC) и DN (N [tex]\in[/tex] AC) са ъглополовящи съответно на [tex]\angle[/tex] CBD и [tex]\angle[/tex] ADB. Намерете периметъра на четириъгълника BMDN.

[S.B.]

В ромба ABCD [tex]\angle[/tex] ABC = 120[tex]^\circ[/tex], AC = 42 cm. BM (M [tex]\in[/tex] AC) и DN (N [tex]\in[/tex] AC) са ъглополовящи съответно на [tex]\angle[/tex] CBD и [tex]\angle[/tex] ADB. Намерете периметъра на четириъгълника BMDN.

Без заглавие - 2022-05-03T163223.783.png (316.08 KiB) Прегледано 733 пъти

Скрит текст: покажи

За сега седмокласниците все още не подозират,че $CM:MO = 2:1$! Те ще го научат когато станат осмокласници.За това ,за да реша задачата ,аз ще се придържам само към знанията,които са придобили в 7 клас .

По условие $ABCD$ е ромб. [tex]AC \cap BD = O , AC \bot BC,AC[/tex] и $BD$ са и ъглополовящи на ъглите от върховете на които излизат.
[tex]\Rightarrow \angle OCB = 30 ^\circ , \angle OBC = 60 ^\circ , \angle ADO = 60 ^\circ[/tex]
По условие $BM$ е ъглополовяща на [tex]\angle CBD \Rightarrow \angle DBM = \angle MBC = 30 ^\circ[/tex]
т.$M$ принадлежи на ъглополовяща [tex]\Rightarrow M[/tex] е на равни разстояния от раменете на [tex]\angle CBD[/tex]
[tex]\Rightarrow MO = OP = x[/tex] (където [tex]OM \bot BD , OP \bot BC[/tex])
[tex]\triangle OMB[/tex] е правоъгълен, $OM$ лежи срещу [tex]\angle OBM = 30 ^\circ ,OM = x \Rightarrow BM = 2x[/tex]
[tex]\triangle BCM[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow MC = 2x[/tex]
Получихме,че [tex]CM:MO = 2:1[/tex] (както обещах в самото начало!)
[tex]OC = \frac{1}{2}AC = 21 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7,2x = 14[/tex]
[tex]\triangle MOD \cong \triangle MOB[/tex]
1)$OD = OB$
2)[tex]\angle ODN = \angle OBM = 30 ^\circ[/tex] ($DN$ е ъглополовяща на [tex]\angle ADB = 60 ^\circ[/tex])
3) и двата триъгълника са правоъгълни
От еднаквостта [tex]\rightarrow OM = ON[/tex]

От [tex]\begin{cases} OM = ON \\ OD = OB\end{cases} \rightarrow NBMD[/tex] е успоредник, а от [tex]BD \bot MN \rightarrow NBMD[/tex] е ромб
[tex]\Rightarrow NB = BM = MD = DN = 2x = 14[/tex]
[tex]\Rightarrow P_{NBMD } = 4.14 = 56[/tex]

[Гост]

Благодаря, S. B.!