уравнение с модули

[Гост]

На колко е равен сборът от корените на уравнението |2-3x|=|9+4x|

[ammornil]

На колко е равен сборът от корените на уравнението |2-3x|=|9+4x|

Намираме за кои стойности на неизвестното всеки от модулите приема стойност нула. Подреждаме всички такива стойности по големина и определяме интервалите на които те разделят множеството на реалните числа. Изследваме знака на всеки модул във всеки интервал. Разглеждаме уравнението във всеки интервал, като пред всеки модул слагаме знака му в интервала и заменяме модула със скоби. За всеки получен корен определяме дали принадлежи на интервала който разглеждаме.

[tex]\begin{matrix} & & -\frac{9}{4} & & \frac{2}{3} & & \\ 2-3x & + & | & + & | & - \\ 9+4x & - & | & + & | & + \end{matrix}[/tex]

[tex]x \in \left(- \infty; -\frac{9}{4}\right] \Rightarrow 2-3x=-(9+4x) \Leftrightarrow 2-3x=-9-4x \Leftrightarrow x=-11 \in \left(- \infty; -\frac{9}{4}\right] \Rightarrow x_{1}=-11[/tex]

[tex]x \in \left(-\frac{9}{4};\frac{2}{3} \right] \Rightarrow 2-3x=9+4x \Leftrightarrow 2-3x=9+4x \Leftrightarrow 7x=-7 \Leftrightarrow x=-1 \in \left(-\frac{9}{4};\frac{2}{3} \right] \Rightarrow x_{2}=-1[/tex]

[tex]x \in \left(\frac{2}{3}; + \infty \right) \Rightarrow -(2-3x)=9+4x \Leftrightarrow -2+3x=9+4x \Leftrightarrow x=-11 \notin \left(\frac{2}{3}; + \infty \right)[/tex]

[tex]\sum(x_{i})=x_{1}+x_{2}=-11+(-1)=-12[/tex]