RQ: Доказателство за едно свойство на ъглополувяща

[prodanov]

"Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата." от wikipedia.

Amsara също има писание по въпроса:

А това равенстно се доказва от своя страна точно със свойството на ъглополовящата. Последното гласи, че всяка точка от една ъглополовяща се намира на равни разстояния от раменете на съответния ъгъл.

Пример:


Ако разгледаме [tex]\Delta ALC[/tex] и [tex]\Delta CLD[/tex], те имат два еднакви ъгъла => подобни и една обща страна => еднакви => AL=LD.

Това ли се има в предвид в теоремата "Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата.", това ли е доказателството?

Не мога просто така да я използвам, трябва ми доказателство. За това отварям темичката. Мерси!

П.П Извинявам се ако съм сбъркал раздела. Amsara спомена, че е 7ми клас и реших, че се учи в 7ми.

[Martin Nikovski]

Може би първо трябва да уточним какво разбираме под "разстояние"...
Разстояние между точка и права, между две прави или каквото и да е друго разстояние наричаме дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към правата (или от едната права към другата и пр.).
Твърдението, за което питаш, не е само за равнобедрен триъгълник. За всеки ъгъл е вярно, че всяка точка от ъглополовящата му е на равни разстояния от раменете му. В частност, в равнобедрения триъгълник всяка точка от ъглополовящата на ъгъла, срещулежащ на основата, е на равни разстояния от бедрата на триъгълника (които са рамене на ъгъла).

Чертеж.

Drawing.jpg (11.59 KiB) Прегледано 1358 пъти

Нека да докажем, че т.[tex]L[/tex] е на равни разстояния от раменете на ъгъла.
Разглеждаме [tex]\Delta MLC[/tex] и [tex]\Delta NLC[/tex]:
[tex]1.\ CL[/tex] - обща страна
[tex]2. \angle CML=\angle CNL=90^\circ[/tex] (разстоянията са перпендикуляри)
[tex]3. \angle MCL=\angle NCL[/tex] ([tex]CL[/tex] е ъглополовяща).
Следователно триъгълниците са еднакви и [tex]ML=NL[/tex] (разстоянията са равни).
Същото може да се докаже аналогично за всяка точка от ъглополовящата.