Моля за помощ за контролна работа

[Zumi]

Искам помощ за тази задача

[Zumi]

Искам помощ за тази задача

[ammornil]

[tex]\triangle{ABC}, \angle{ACB}=90^{\circ}, s_{AB} \cap BC = N, \angle{CAN}=60^{\circ}[/tex]
(а) [tex]\angle{BAC}=?, \angle{ABC}=?[/tex]
(б) [tex]\because AB=18\>[cm] \rightarrow AC=?, S_{\triangle{ABC}}=?[/tex]

230319_001.png (17.05 KiB) Прегледано 533 пъти

Нека [tex]\angle{BAC}=\alpha, \angle{ABC}=\beta, s_{AB} \cap AB = M[/tex]
[tex]\triangle{ABC} \rightarrow \alpha = 90^{\circ}-\beta[/tex]
[tex]\angle{BMN}=90^{\circ}, \triangle{BMN} \rightarrow \angle{BNM}=90^{\circ}-\beta=\alpha[/tex]
Точка [tex]N[/tex] лежи на симетралата на [tex]AB[/tex] следователно [tex]AN=BN \Rightarrow \angle{NAM}=\angle{ABN}=\beta[/tex]
[tex]MN[/tex] е височина, медиана и ъглополовяща в [tex]\triangle{ABN} \Rightarrow \angle{ANM}=\angle{BNM}=\alpha[/tex]
[tex]\triangle{ANC} \rightarrow \angle{ANC}=90^{\circ}-\angle{CAN}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}[/tex]
[tex]\angle{BNM}+\angle{ANM}+\angle{ANC}=180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha + \alpha +30^{\circ}=180^{\circ} \Leftrightarrow 2\cdot \alpha = 150^{\circ} \Rightarrow[/tex] $$ \alpha=75^{\circ} \Rightarrow \beta=15^{\circ} $$

За следващата подточка не знам дали предложеното от мен решение е в знанията на ученик в седми клас...
[tex]AC=x, \Rightarrow \triangle{ANC}, \angle{ACN}=90^{\circ}, \angle{CNA}=30^{\circ} \Rightarrow AN=2x \Rightarrow BN=2x[/tex]
[tex]\triangle{ANC} \rightarrow AN^{2}=CN^{2}+AC^{2} \Rightarrow CN^{2}=AN^{2}-AC^{2}=(2x)^{2}-x^{2}=3x^{2} \Rightarrow CN=x\sqrt{3}[/tex]
[tex]BC=BN+CN=2x+x\sqrt{3}=x(2+\sqrt{3})[/tex]

[tex]\triangle{ABC} \rightarrow AB^{2} = AC^{2}+BC^{2} = x^{2} +[x(2+\sqrt{3})]^{2}=x^{2}[1+(2+\sqrt{3})^{2}]=x^{2}(1+4+4\sqrt{3}+3) \Rightarrow x^{2}(8+4\sqrt{3})=18^{2} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]x^{2}=\frac{18^{2}}{2(4+\sqrt{3})}.\frac{4-\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}=\frac{18^{2}\cdot (4-\sqrt{3})}{2\cdot(4^{2}-(\sqrt{3})^{2})} \Leftrightarrow x^{2}=\frac{18\cdot 9\cdot (4-\sqrt{3})}{16-3} \Leftrightarrow x^{2}=\frac{162\cdot (4-\sqrt{3})}{13} \Rightarrow[/tex] $$ AC = x=\sqrt{\frac{162\cdot (4-\sqrt{3})}{13}} = 9\cdot \sqrt{\frac{2\cdot (4-\sqrt{3})}{13}}\>[cm]$$

[tex]BC=x\cdot (2+\sqrt{3})= 9\cdot \sqrt{\frac{2\cdot (4-\sqrt{3})}{13}} \cdot (2+\sqrt{3})\>[cm][/tex]

[tex]S_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC = \frac{1}{2}\cdot 9\cdot \sqrt{\frac{2\cdot (4-\sqrt{3})}{13}} \cdot 9\cdot \sqrt{\frac{2\cdot (4-\sqrt{3})}{13}} \cdot (2+\sqrt{3}) = \frac{81\cdot (2+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2\cdot (4-\sqrt{3})}{13} \Rightarrow[/tex] $$ S_{\triangle{ABC}}= \frac{81\cdot (2+\sqrt{3})\cdot (4-\sqrt{3})}{13} =\frac{81\cdot (5+2\sqrt{3})}{13}\>[cm^{2}]$$

[Евва]

б) АС=х =?

Скрит текст: покажи

Грешката на колегата е в 6 ред след червеното изречение .

И аз работих по същата идея .
[tex]АС^{2 }+BC^{2}=AB^{2}[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex]+[tex][x(2+ \sqrt{3} )]^{2 }[/tex]=[tex]18^{2 }[/tex]

[tex]x^{2 }[/tex]+[tex]x^{2 }[/tex](4+4[tex]\sqrt{3}[/tex]+3) =324

[tex]x^{2 }[/tex](8+4[tex]\sqrt{3}[/tex])=324 |:4[tex]\ne[/tex]0

[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]\frac{81}{2+ \sqrt{3} }[/tex] .[tex]\frac{2- \sqrt{3} }{2- \sqrt{3} }[/tex]

[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]\frac{81(2- \sqrt{3}) }{4-3}[/tex] =81(2-[tex]\sqrt{3}[/tex])

x=AC=9[tex]\sqrt{2- \sqrt{3} }[/tex] см.

[tex]S_{ABC }[/tex]=?
Сигурно сте учили ,че във всеки правоъгълен [tex]\triangle[/tex] с ъгъл 15[tex]^\circ[/tex] -височината към хипотенузата
е 4 пъти по-малка от самата хипотенуза .

[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{АВ.СН}{2}[/tex] =[tex]\frac{АВ. \frac{АВ}{4} }{2}[/tex] =[tex]\frac{ АВ^{2 } }{8}[/tex]=[tex]\frac{ 18^{2 } }{8}[/tex] =40,5 [tex]см.^{2 }[/tex]

[ammornil]

Благодаря, Евва! Аз съм изнесъл грешно мнижител от скобите