еднакви триъгълници

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС с бедра AC = BC. Докажете, че ако
ъглополовящите на ъглите при основата пресичат бедрата в точки M и N,
то MN е успоредна на АВ.

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС с бедра AC = BC. Докажете, че ако
ъглополовящите на ъглите при основата пресичат бедрата в точки M и N,
то MN е успоредна на АВ.

Без заглавие - 2023-03-31T213011.057.png (228.11 KiB) Прегледано 426 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен ,[tex]AC = BC \Rightarrow \angle A = \angle B = \varphi[/tex]
$AM, BN$ - ъглополовящи [tex]\Rightarrow \angle MAB = \angle NBA = \frac{ \varphi }{2}[/tex]
[tex]AM \cap BN = O[/tex]
[tex]\triangle ABM \cong \triangle ABN[/tex] по втори признак :
1) $AB$ - обща
2)[tex]\angle NAB = \angle MBA = \varphi[/tex]
3)[tex]\angle MAB = \angle NBA = \frac{ \varphi }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow AM = BN[/tex]

[tex]\triangle AOB[/tex] е равнобедрен (ъглите при основата са равни)[tex]\Rightarrow AO = BO[/tex]

[tex]\begin{cases} AM = BN \\ AO = BO \end{cases} \Rightarrow OM = ON \Rightarrow \triangle OMN[/tex] също е равнобедрен и [tex]\angle OMN = \angle ONM[/tex]
[tex]\angle AOB = \angle MON[/tex] като противоположни (връхни) ъгли
[tex]\triangle AOB[/tex] и [tex]\triangle MON[/tex] са равнобедрени и имат равни ъгли при върховете си [tex]\Rightarrow[/tex] ъглите при основите им също са равни.
[tex]\Rightarrow \angle OAB = \angle ONM = \frac{ \varphi }{2}[/tex]
Но те са кръстни ъгли получени при пресичането на правите $AB$ и $MN$ с правата $AM$
$$\Rightarrow AB || MN$$