еднакви триъгълници

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с бедра AC=BC.Докажете,че ако M и N са на височините през върховете A и B ,то MN е успоредна на AB

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с бедра AC=BC.Докажете,че ако M и N са петите на височините през върховете A и B ,то MN е успоредна на AB

Без заглавие - 2023-03-31T221429.854.png (260.48 KiB) Прегледано 460 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен, [tex]AC = BC \Rightarrow \angle CAB = \angle CBA = \varphi[/tex]
[tex]AM \bot BC , \triangle ABM[/tex] е правоъгълен [tex]\angle AMB = 90 ^\circ , \angle MBA = \varphi \Rightarrow \angle MAB = 90 ^\circ- \varphi[/tex]
Аналогично за [tex]\triangle ABN[/tex]
[tex]\triangle ABM \cong \triangle ABN[/tex] по втори признак (ЗАЩО?)
[tex]\Rightarrow AM = BN[/tex]
[tex]\triangle AOB[/tex] е равнобедрен ( има равни ъгли при основата $AB$)[tex]\Rightarrow AO = BO[/tex]

[tex]\begin{cases} AM = BN \\ AO = BO \end{cases} \Rightarrow OM = ON \Rightarrow \triangle MON[/tex] е равнобедрен и ъглите му при основата $MN$ са равни.
[tex]\angle AOB = \angle MON[/tex], двата триъгълника [tex]\triangle AOB[/tex] и [tex]\triangle MON[/tex] са равнобедрени и ъглите срещу основите им са равни [tex]\Rightarrow[/tex] ъглите им при основите също са равни:
[tex]\angle OAB = \angle OMN = 90 ^\circ - \varphi[/tex]
Но те са кръстни ъгли получени при пресичането на $AB$ и $MN$ с правата $AM$
$$\Rightarrow AB || MN$$