Ъглополовящи в триъгълник

[Гост]

В триъгълник ABC AA1,BB1и CC1са ъглополовящи, а ъгъл ACB =120 градуса. Да се намери ъгъл A1C1B1.

[Tilko]

В триъгълник ABC AA1,BB1и CC1са ъглополовящи, а ъгъл ACB =120 градуса. Да се намери ъгъл A1C1B1.

Като използваме теоремата за ъглополовящите в триъгълник, знаем, че точките A1, B1 и C1 лежат на окръжността, описана около триъгълника ABC. Тогава можем да използваме свойството, че ъгълът, определен от диаметъра на окръжността, е прав ъгъл.
Тъй като ъгъл ACB е 120 градуса, то той е ъгълът на диаметъра на окръжността, който минава през точките A1 и C1. Следователно, този ъгъл е прав ъгъл, а ъгълът A1C1B1 е вписан ъгъл в окръжността.
За да намерим мярката на вписания ъгъл A1C1B1, можем да използваме свойството на вписаните ъгли, че мярката на вписания ъгъл е половината от мярката на централния ъгъл, който го определя. Тъй като ъгъл ACB е централен ъгъл, който определя вписания ъгъл A1C1B1, мярката на вписания ъгъл е половината от мярката на ъгъла ACB:

ABC е [tex]\triangle[/tex] с [tex]\angle[/tex] ACB = 120[tex]^\circ[/tex] и ъглополовящи AA1, BB1 и CC1. Тогава:
Точките A1, B1 и C1 лежат на окръжността, описана около [tex]\triangle[/tex] ABC.
[tex]\angle[/tex]A1C1B1 = 180[tex]^\circ[/tex] - [tex]\angle[/tex]ACB = 180[tex]^\circ[/tex] - 120[tex]^\circ[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex].

[Гост]

Ама ти сериозно ли пишеш тези глупости?!Я ела на себе си!

[Гост]

Това не е решение на задачата. По-добре ще е да изтриете публикацията си.

[Гост]

Това не е решение на задачата. По-добре ще е да изтриете публикацията си.

Напротив!Нека да стои като паметник на невежеството !

[Tilko]

Съжалявам за по-горният пост, не е мой, но както и да е... Извинявам се още веднъж!

Нека [tex]\angle[/tex] A1CB1 е x[tex]^\circ[/tex]. Тъй като AA1 е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex] ABC, то [tex]\angle[/tex] AAB1 и [tex]\angle[/tex]A1CB1 са равни, следователно [tex]\angle[/tex] AAB1 е също x[tex]^\circ[/tex]. Аналогично, BB1 е ъглополовяща в триъгълник ABC, следователно [tex]\angle[/tex] BBA1 и [tex]\angle[/tex] B1AC1 са равни, следователно [tex]\angle[/tex] B1AC1 е също x[tex]^\circ[/tex].
Тъй като сборът на [tex]\angle[/tex] на [tex]\triangle[/tex] е до 180[tex]^\circ[/tex], то [tex]\angle[/tex] A1C1B1 може да бъде изразен като:
A1C1B1 = 180 - (A1CB1 + AAB1 + B1AC1)
Подставяйки x за A1CB1, AAB1 и B1AC1 получаваме:
A1C1B1 = 180 - (x + x + x) = 180 - 3x
Остава да намерим стойността на ъгъла x. Тъй като [tex]\angle[/tex] ACB е 120[tex]^\circ[/tex] и AA1 е ъглополовяща,
то [tex]\angle[/tex] AAB1 е 60[tex]^\circ[/tex]. Аналогично, [tex]\angle[/tex] B1AC1 е 60[tex]^\circ[/tex].
Сега можем да използваме свойството на ъглите на триъгълник:
x[tex]^\circ[/tex] + 60[tex]^\circ[/tex] + x[tex]^\circ[/tex] + 60[tex]^\circ[/tex] + x[tex]^\circ[/tex] + 120[tex]^\circ[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex]
Следователно [tex]\angle[/tex] A1C1B1 е:
A1C1B1 = 180[tex]^\circ[/tex] - 3x[tex]^\circ[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex] - 3(20[tex]^\circ[/tex]) = 120[tex]^\circ[/tex].

[S.B.]

Съжалявам за по-горният пост, не е мой, но както и да е... Извинявам се още веднъж!

Нека [tex]\angle[/tex] A1CB1 е x[tex]^\circ[/tex]. Тъй като AA1 е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex] ABC, то [tex]\angle[/tex] AAB1 и [tex]\angle[/tex]A1CB1 са равни, следователно [tex]\angle[/tex] AAB1 е също x[tex]^\circ[/tex]. Аналогично, BB1 е ъглополовяща в триъгълник ABC, следователно [tex]\angle[/tex] BBA1 и [tex]\angle[/tex] B1AC1 са равни, следователно [tex]\angle[/tex] B1AC1 е също x[tex]^\circ[/tex].
Тъй като сборът на [tex]\angle[/tex] на [tex]\triangle[/tex] е до 180[tex]^\circ[/tex], то [tex]\angle[/tex] A1C1B1 може да бъде изразен като:
A1C1B1 = 180 - (A1CB1 + AAB1 + B1AC1)
Подставяйки x за A1CB1, AAB1 и B1AC1 получаваме:
A1C1B1 = 180 - (x + x + x) = 180 - 3x
Остава да намерим стойността на ъгъла x. Тъй като [tex]\angle[/tex] ACB е 120[tex]^\circ[/tex] и AA1 е ъглополовяща,
то [tex]\angle[/tex] AAB1 е 60[tex]^\circ[/tex]. Аналогично, [tex]\angle[/tex] B1AC1 е 60[tex]^\circ[/tex].
Сега можем да използваме свойството на ъглите на триъгълник:
x[tex]^\circ[/tex] + 60[tex]^\circ[/tex] + x[tex]^\circ[/tex] + 60[tex]^\circ[/tex] + x[tex]^\circ[/tex] + 120[tex]^\circ[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex]
Следователно [tex]\angle[/tex] A1C1B1 е:
A1C1B1 = 180[tex]^\circ[/tex] - 3x[tex]^\circ[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex] - 3(20[tex]^\circ[/tex]) = 120[tex]^\circ[/tex].

Без заглавие - 2023-04-16T154231.594.png (216.07 KiB) Прегледано 1858 пъти

Престани да се терзаеш! Отговорът е :
$$\angle A_{1 } C_{1 } B_{1 } = 90 ^\circ $$
Решението не е мое, а на GEO GEBRA,така,че отправяй забележките си към GEO GEBRA!
А колкото до твърдението ти,че "предишният пост не е твой", ще ти отговоря,че аз и моите съфорумци не сме хванати от гората ,колкото и да ти се иска това!
И още нещо:
1)Ще ми се да те попитам кои са ъглите [tex]\angle AA B_{1 }[/tex] и [tex]\angle BB A_{1 }[/tex]
За първи път срещам такова обозначаване на ъгъл!!!
2)[tex]\angle A_{1 }C B_{1 } = 120 ^\circ[/tex] според условието, а ти приемаш [tex]\angle A_{1 }C B_{1 } = x ^\circ[/tex]

[KOPMOPAH]

Ъглополовящи.png (14.18 KiB) Прегледано 1832 пъти

Нямам идея как може да се реши тази задача със знанията за $7$ клас. Ето моето решение.

Приемаме $BC=a$, $AC=1$. Тогава от косинусова теорема за $\triangle ABC$
$~~~~~~~~~~~~AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos 120^\circ=1+a^2-2.1.a.\left(\frac 12\right)=a^2+a+1$,
$~~~~~~~~~~~~\boxed{AB=\sqrt{a^2+a+1}}$

Ако отбележим $AC_1$ с $x$, то $BC_1=\sqrt{a^2+a+1}-x$ и от свойствата на ъглополовящата за $\triangle ABC$ имаме, че
$~~~~~~~~~~~~\frac 1x=\frac a{\sqrt{a^2+a+1}-x}\Rightarrow \sqrt{a^2+a+1}-x=ax \Rightarrow x=\frac{\sqrt{a^2+a+1}}{a+1}$

$~~~~~~~~~~~~\boxed{AC_1=\frac{\sqrt{a^2+a+1}}{a+1}},~~\boxed{ BC_1=\frac{a\sqrt{a^2+a+1}}{a+1}}$

Тъй като $CC_1$ е ъглополовяща, то
$~~~~~~~~~~~~CC_1^2=AC.BC-AC_1.BC_1\Rightarrow CC_1^2=1.a-\frac{\sqrt{a^2+a+1}}{a+1}.\frac{a\sqrt{a^2+a+1}}{a+1}=\frac{a(a+1)^2-a\left(a^2+a+1\right)}{(a+1)^2}=\frac{a^2}{(a+1)^2}=\left(\frac{a}{a+1}\right)^2$

$~~~~~~~~~~~~\boxed{CC_1=\frac{a}{a+1}}$

Ако отбележим $CB_1$ с $y$, то $AB_1=1-y$ и от свойствата на ъглополовящата за $\triangle ABC$ имаме, че

$~~~~~~~~~~~~\frac ay=\frac {\sqrt{a^2+a+1}}{1-y}\Rightarrow a-ay=y\sqrt{a^2+a+1}\Rightarrow y=\frac{a}{\sqrt{a^2+a+1}+a}$
$~~~~~~~~~~~~\boxed{CB_1=\frac{a}{\sqrt{a^2+a+1}+a}},~~\boxed{AB_1=1-\frac{a}{\sqrt{a^2+a+1}+a}=\frac{\sqrt{a^2+a+1}}{{\sqrt{a^2+a+1}+a}}}$

Сега разглеждаме $\triangle AC_1C$ и проверяваме

$~~~~~~~~~~~~\frac{AC_1}{AB_1}\stackrel{?}{=}\frac{CC_1}{CB_1}$

$~~~~~~~~~~~~\frac{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+a+1}}{a+1}}{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+a+1}}{{\sqrt{a^2+a+1}+a}}}\stackrel{?}{=}\frac{\displaystyle \frac{a}{a+1}}{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+a+1}+a}}$

Преработвайки последния многоетажен израз, получаваме:

$~~~~~~~~~~~~1\stackrel{?}{=}1$,
откъдето следва, че

$~~~~~~~~~~~~\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{CC_1}{CB_1}$

и за $\triangle AC_1C$ $C_1B_1$ се явява ъглополовяща.

Аналогично се доказва, че и $C_1A_1$ се явява ъглополовяща за $\triangle BC_1C$, следователно ъгълът между тях е $90^\circ$.

[peyo]

И с точно построение в геогебра

geogebra-export(40).png (1.46 MiB) Прегледано 1827 пъти

[KOPMOPAH]

Изключително ценя GeoGebra. Аз я ползвам винаги, когато трябва да онагледя някоя задача. Считам, че добрият тон изисква всяка задача да е съпроводена с чертеж.
Самият чертеж, колкото и да е точен, не може да се приеме за решение, а само за негова илюстрация.

И като продължение на задачата - докажете, че ъглите $\measuredangle C_1B_1L$ и $\measuredangle C_1A_1L$ са равни и намерете мярката им.

Скрит текст: покажи

Отг. $30^\circ$

Открито, естествено, с помощта на GeoGebra...

[Гост]

tva e mnogo interesna zadacha...

[Гост]

v 7 klas znajat li, che 3-te uglopolovjashti se presichat v edna tochka?

[Гост]

v 7 klas znajat li, che 3-te uglopolovjashti se presichat v edna tochka?

Да

[nikola.topalov]

2023-04-20 (7).png (49.81 KiB) Прегледано 1786 пъти

[tex]F[/tex] и [tex]D[/tex] са центровете на външно вписаните окръжности съответно на [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle HBC[/tex] (защо?), откъдето [tex]\measuredangle AHD=\measuredangle DHC[/tex] и [tex]\measuredangle CHF=\measuredangle FHB[/tex]. Следователно [tex]\measuredangle DHF=90^\circ[/tex].

[S.B.]

v 7 klas znajat li, che 3-te uglopolovjashti se presichat v edna tochka?

Не.Това се учи по късно - в 8 или 9 клас.Но се знае,че всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от раменете на ъгъла и лесно би могло да се докаже.

[S.B.]

2023-04-20 (7).png

[tex]F[/tex] и [tex]D[/tex] са центровете на външно вписаните окръжности съответно на [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle HBC[/tex] (защо?), откъдето [tex]\measuredangle AHD=\measuredangle DHC[/tex] и [tex]\measuredangle CHF=\measuredangle FHB[/tex]. Следователно [tex]\measuredangle DHF=90^\circ[/tex].

Това е вярно,но не се изучава в 7 клас.Просто ми се струва, че Гост е объркал раздела в който трябва да я публикува.Не откривам начин да се реши със знанията на 7 клас.

[Гост]

da, zatva pitah, shtoto shtjah da predlozha reshenieto na nikola.topalov...vuzmozhno li e toj da e postnal zadachata?

[nikola.topalov]

Възможно е. Възможно е и да сте Вие - все пак сте щели да качите същото решение. Възможно е и горния коментар аз да съм го качил и да разговарям със себе си в момента.

[Гост]

ne be, ne se naprjagaj...evala za reshenieto...prosto imam nabljudenija, che obichash da testvash foruma s hitri zadachki i e vuzmozhno da ne si precenil pravilno razdela...

[Гост]

Същата задача, но с други означения, присъства в Книга за ученика на издателство "Архимед", за 7-ми клас, раздел 4 "Еднакви триъгълници", задача 290.

[Гост]

Същата задача, но с други означения, присъства в Книга за ученика на издателство "Архимед", за 7-ми клас, раздел 4 "Еднакви триъгълници", задача 290.

imash li reshenieto?