Задача за ромб

[Гост]

Диагоналите на правоъгълника ABCD се пресичат в точка O така,че
AO=BC.През точка O е прекарана права l,която пресича страните AB
и CD съответно в точки M и N.Да се докаже,че ако BM=2AM,то MBND е ромб.

[S.B.]

Диагоналите на правоъгълника ABCD се пресичат в точка O така,че
AO=BC.През точка O е прекарана права l,която пресича страните AB
и CD съответно в точки M и N.Да се докаже,че ако BM=2AM,то MBND е ромб.

Без заглавие - 2023-04-10T171921.485.png (279.14 KiB) Прегледано 518 пъти

[tex]\triangle MOB \cong NOD[/tex] (втори признак) [tex]\Rightarrow MB = ND[/tex]
[tex]\begin{cases} MB = ND\\ MB || ND \end{cases} \Rightarrow BNDM[/tex] е успоредник,за който ще докажа,че има взаимно перпендикулярни диагонали
[tex]AO = BC , BC = AD , AO = BO \Rightarrow \triangle AOD[/tex] е равностранен , [tex]\angle DAO = 60 ^\circ \Rightarrow \angle OAB = 30 ^\circ[/tex]
[tex]AO = BO \Rightarrow \triangle AOB[/tex] е равнобедрен, [tex]\angle OAB = \angle OBA = 30 ^\circ \Rightarrow \angle AOB = 120^\circ[/tex]
По условие $MB = 2AM$
Нека $AM = a , MB = 2a$
Построявам [tex]OP \bot AB , P \in AB[/tex]
[tex]AB = 3a \Rightarrow AP = \frac{3a}{2}[/tex]
[tex]\triangle AOP[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle OAP = 30 ^\circ \Rightarrow \angle AOP = 60 ^\circ[/tex]
Построявам [tex]MQ \bot AO, Q \in AO[/tex]
[tex]\triangle AMQ[/tex] е правоъгълен, [tex]\angle QAM = 30 ^\circ \Rightarrow MQ = \frac{AM}{2} \Rightarrow MQ = \frac{a}{2}[/tex]
Но [tex]MP = \frac{3a}{2} - a \Rightarrow MP = \frac{a}{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} MQ \bot AO , MP = \displaystyle\frac{a}{2} \\ MP \bot OP,MP = \displaystyle\frac{a}{2} \end{cases} \Rightarrow M[/tex] е на равни разстояния от раменете на [tex]\angle AOP[/tex]
[tex]\Rightarrow OM[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle AOP \Rightarrow \angle MOP = \angle MOQ = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle MOB = 120 ^\circ - \angle MOQ = 120 ^\circ - 30 ^\circ = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow MN \bot BD \Rightarrow[/tex] успоредникът $BNDM$ е ромб