Триъгълник

[Гост]

В остроъгълния триъгълник АВС са построени височината ВН и ъглополовящата АL, които се пресичат в точка О. Ако ъгъл АОВ =130 градуса и ъгъл CBH към ъгъл BCH се отнасят както 1:4, намерете ъгъл САВ в градуси.

[ammornil]

В остроъгълния триъгълник АВС са построени височината ВН и ъглополовящата АL, които се пресичат в точка О. Ако ъгъл АОВ =130 градуса и ъгъл CBH към ъгъл BCH се отнасят както 1:4, намерете ъгъл САВ в градуси.

Screenshot 2023-04-29 061317.png (22.02 KiB) Прегледано 496 пъти

[tex]\angle{CAB}=\alpha; \hspace{2em} \angle{ABC}=\beta; \hspace{2em} \angle{BCA}=\gamma; \hspace{2em} \hspace{2em} \angle{CAL}=\angle{BAL}=\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\triangle{BHC} \rightarrow \angle{BHC}=90^{\circ}; \angle{\angle{HBC}}=x; \hspace{2em} \angle{BCH}=4x; \hspace{2em} \angle{HBC}+\angle{BCH}=90^{\circ} \Rightarrow 5x=90^{\circ} \Rightarrow x=18^{\circ} \Rightarrow[/tex] $$ \gamma=4x=72^{\circ} $$

[tex]\triangle{AOB} \rightarrow \angle{ABO}+\angle{BOA}+\angle{OAB}=180^{\circ} \Rightarrow \angle{ABO}=180^{\circ}-\angle{BOA}-\angle{OAB} \Leftrightarrow \angle{ABO}=50^{\circ}-\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\beta = \angle{ABO} +x = 50^{\circ}-\frac{\alpha}{2} +18^{\circ}=68^{\circ}-\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\triangle{ABC} \rightarrow \alpha +\beta +\gamma = 180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha +68^{\circ}-\frac{\alpha}{2} + 72^{\circ}=180^{\circ} \Leftrightarrow \frac{\alpha}{2}=40^{\circ} \Rightarrow[/tex] $$ \alpha=80^{\circ} $$ $$ \beta=68^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=28^{\circ} $$


$$ \text{Отг.} \hspace{0.5em} 80^{\circ}; \hspace{0.5em} 28^{\circ}; \hspace{0.5em} 72^{\circ} $$