Геометрична задача с триъгълник и неизвестен ъгъл

[Гост]

В триъгълник АВС ъгъл С е 60°. Към страните ВС и АС са спуснати височини АА1 и ВВ1. Ъглополовящите на ъглите А1АВ и съответно В1ВА се пресичат в точка О. Търси се ъгъл АОВ

[S.B.]

В триъгълник АВС ъгъл С е 60°. Към страните ВС и АС са спуснати височини АА1 и ВВ1. Ъглополовящите на ъглите А1АВ и съответно В1ВА се пресичат в точка О. Търси се ъгъл АОВ

Без заглавие - 2023-05-10T115821.753.png (285.72 KiB) Прегледано 514 пъти

Нека [tex]\angle CAB = \alpha , \angle CBA = \beta[/tex]
[tex]A L_{1 } \cap B L_{2 } = O ,A L_{1 } ,B L_{2 }[/tex] - ъглополовящи съответно на [tex]\angle A_{1 }AB[/tex] и [tex]\angle B_{1 }BA[/tex]
От [tex]\triangle AB A_{1 } \rightarrow \angle A A_{1 }B = 90 ^\circ , \angle AB A_{1 } = \beta \Rightarrow \angle A_{1 }AB = 90 ^\circ - \beta[/tex]
[tex]A L_{1 }[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle A_{1 } AB \Rightarrow \angle L_{1 }AB = \frac{90 ^\circ - \beta }{2} ,O \in A L_{1 }[/tex]
$$\Rightarrow\angle OAB = \angle L_{1 }AB = 45 ^\circ - \frac{ \beta }{2} $$
От [tex]\triangle AB B_{1 } \rightarrow \angle A B_{1 }B = 90 ^\circ , \angle B_{1 }AB = \alpha \Rightarrow \angle B_{1 }BA = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]B L_{2 }[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle B_{1 }BA \Rightarrow \angle L_{2 }BA = \frac{90 ^\circ - \alpha }{2},O \in B L_{1 }[/tex]
$$\Rightarrow\angle OBA = \angle L_{2 }BA = 45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} $$
За [tex]\triangle ABC[/tex]:

[tex]\alpha + \beta + 60 ^\circ = 180 ^\circ \Leftrightarrow \alpha + \beta = 120 ^\circ \Rightarrow \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2} = 60 ^\circ[/tex]

За [tex]\triangle ABO[/tex]:
[tex]\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} + 45 ^\circ - \frac{ \beta }{2} + \angle AOB = 180 ^\circ \Leftrightarrow[/tex]
[tex]90 ^\circ - ( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2}) + \angle AOB = 180 ^\circ \Leftrightarrow 90 ^\circ - 60 ^\circ + \angle AOB = 180 ^\circ \Leftrightarrow \angle AOB = 180 ^\circ - 30 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle AOB = 150 ^\circ $$