Симетрала

[Гост]

В правоъгълния триъгълник ABC симетралата на хипотенузата АВ пресича страните АВ и ВС съответно в точки М и Р. Ако РС е равно на РМ. то марката на ъгъл ВАС е…

[Jack]

В правоъгълния триъгълник ABC симетралата на хипотенузата АВ пресича страните АВ и ВС съответно в точки М и Р. Ако РС е равно на РМ. то марката на ъгъл ВАС е…

Най-точният чертеж, който направих на GeoGebra:

Second Math Task ;).png (217.24 KiB) Прегледано 2257 пъти

Използваме теоремата, че медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата. Тоест $CM = \frac{1}{2} \times AB$ или с други думи $AM = MB = CM$.
Нека $\angle MAC = x ^\circ$ $(x > 0^\circ)$.

Понеже $AM = CM$, то $\triangle AMC$ е равнобедрен и $\angle MAC = \angle ACM = x ^\circ$.
От друга страна по условие $PC = PM$, тоест $\triangle CPM$ е равнобедрен и $\angle CMP = \angle MCP$.
$\angle MCP = \angle ACB - \angle ACM = 90 - x^\circ$ [tex]\Rightarrow[/tex] $\angle CMP = \angle MCP = 90 - x^\circ$
$\angle AMP = 90^\circ = \angle AMC + \angle CMP = 180 - 2x + 90 - x = 270 - 3x = 90 ^\circ$ [tex]\Rightarrow[/tex] $x = 60^\circ$

[tex]\Rightarrow[/tex] Отговор: $\angle BAC = 60^\circ$