Триъгълник

[Гост]

В триъгълник АВС ъглите при върховете А, В и С се отнасят както 3:4:5,CD(D лежи на АВ) е височина и точка М лежи на ВС. От точка D са построени разстоянията DP и DQ, съответно до АМ и ВС и DP=DQ.
А) Намерете ъглите на триъгълниците АВС и DQC.
Б) Ако AD=12см намерете периметъра и лицето на PDQM.

[S.B.]

В триъгълник АВС ъглите при върховете А, В и С се отнасят както 3:4:5,CD(D лежи на АВ) е височина и точка М лежи на ВС. От точка D са построени разстоянията DP и DQ, съответно до АМ и ВС и DP=DQ.
А) Намерете ъглите на триъгълниците АВС и DQC.
Б) Ако AD=12см намерете периметъра и лицето на PDQM.

Без заглавие - 2023-05-31T102907.864.png (269.64 KiB) Прегледано 575 пъти

а)
За ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\angle A : \angle B : \angle \angle C = 3 : 4 : 5[/tex]
[tex]\angle A = 3x , \angle B = 4x , \angle C = 5x[/tex]
[tex]\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^\circ \Leftrightarrow 3x + 4x + 5x = 180 ^\circ \Leftrightarrow 12x = 180 ^\circ \Rightarrow x = 15 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle A = 45 ^\circ , \angle B = 60 ^\circ , \angle C = 75 ^\circ $$
[tex]CD \bot AB,D \in AB \Rightarrow \triangle DBC[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle B = 60 ^\circ \Rightarrow \angle BCD = 30 ^\circ[/tex]
[tex]DQ \bot BC \Rightarrow \triangle DQC[/tex] е правоъгълен , [tex]\angle QCD = 30 ^\circ \Rightarrow \angle QDC = 60 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle QDC[/tex]:
$$\angle CQD = 90 ^\circ , \angle DCQ = 30 ^\circ , CDQ = 60 ^\circ$$

b)
[tex]\begin{cases} DQ \bot BC\\ M \in BC\end{cases} \Rightarrow DQ \bot BM[/tex]

[tex]DP \bot AM , DQ \bot BM \Leftrightarrow \angle AMB[/tex] и [tex]\angle PDQ[/tex] са ъгли с взаимно перпендикулярни рамене[tex]\Rightarrow \angle PDQ = \angle AMB[/tex]
[tex]Q \in BM , P \in AM[/tex]
$$\Rightarrow \angle PDQ = \angle PMQ$$
Сборът от ъглите в изпъкналия четириъгълник $PDQM$ е [tex]360^\circ[/tex]
[tex]\angle DPM = \angle DQM = 90 ^\circ[/tex] (защото [tex]DQ \bot BM , DP \bot AM )\Rightarrow \angle DPM + \angle DQM = 180 ^\circ[/tex]
Остава,че [tex]\angle PMQ + \angle PDQ = 180 ^\circ[/tex]

[tex]\begin{cases} \angle PMQ + \angle PDQ = 180 ^\circ \\ \angle PMQ = \angle PDQ\end{cases} \Rightarrow \angle PMQ = \angle PDQ = 90 ^\circ[/tex]
В четириъгълника $PDQM$ ъглите са прави, а по условие съседните страни $DQ = DP$
[tex]\Rightarrow DQMP[/tex] е квадрат
[tex]\triangle ADC[/tex] е равнобедрен, правоъгълен [tex]\Rightarrow CD = AD = 12[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle DQC[/tex] , $DQ$ лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow DQ = \frac{DC}{2} = \frac{12}{2} = 6[/tex]
$$P_{DQMP } = 4.6 = 24,S_{DQMP } = 6^{2 } = 36$$