Цистерна Въпрос

[Гост]

Една тръба пълни цистерна за 4 h, а друга тръба – за 1,5 пъти повече време. Двете тръби започнали да пълнят заедно цистерната, но след няколко часа останала само втората тръба. По колко часа е работила всяка тръба, ако втората е довършила работата за 1 h? За колко часа е напълнена цистерната?
Така за общо 3 часа е напълнена тръбата
Но как да намеря по отделно колко пълнят часа ?

[ammornil]

Първата тръба пълни цистерната сама за [tex]4[h][/tex], значи нейната почасова производителност е [tex]\frac{1}{4}[\text{части}/h][/tex].
Втората тръба пълни цистерната сама за [tex]4\cdot{1\frac{1}{2}}=4\cdot{\frac{3}{2}}=6[h][/tex], значи нейната почасова производителност е [tex]\frac{1}{6}[\text{части}/h][/tex].

Нека двете тръби са работили заедно [tex]x[h][/tex]. Тогава втората тръба е работила за времето за което цистерната била напълнена, тоест [tex]x+1[h][/tex]. $$ \begin{matrix} \text{тръба} & \text{време} & \text{производителност} & \text{свършена работа} \\ 1 & x & \frac{\normalsize{1}}{\normalsize{4}} & \frac{\normalsize{1}}{\normalsize{4}}x \\ \phantom{a} \\ 2 & x+1 & \frac{\normalsize{1}}{\normalsize{6}} & \frac{\normalsize{1}}{\normalsize{6}}(x+1) \end{matrix}$$ Тогава $$ \frac{1}{4}x+\frac{1}{6}(x+1)=1$$

Скрит текст: покажи

[tex]3x+2x+2=12 \Leftrightarrow 5x=10 \Leftrightarrow x=2[h][/tex]

$$ x=2[h]$$
Тръба 1 е работила [tex]2[h][/tex], тръба 2 е работила [tex]3[h][/tex], което е и времето за което е напълнена цистерната.



Задачата може да се реши и по друг начин:

Скрит текст: покажи

Първата тръба пълни цистерната сама за [tex]4[h][/tex], значи нейната почасова производителност е [tex]\frac{1}{4}[\text{части}/h][/tex].
Втората тръба пълни цистерната сама за [tex]4\cdot{1\frac{1}{2}}=4\cdot{\frac{3}{2}}=6[h][/tex], значи нейната почасова производителност е [tex]\frac{1}{6}[\text{части}/h][/tex].
Ако втората тръба е работила [tex]1[h][/tex] сама за да допълни цистерната, то в цистерната е имало [tex]1\cdot{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}[/tex] части оставащо място, което значи че двете тръби заедно са напълнили [tex]1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}[/tex] от цистерната. Тогава $$ \frac{1}{4}x+\frac{1}{6}x = \frac{5}{6} $$
[tex]3x+2x=10 \Leftrightarrow 5x=10 \Leftrightarrow x=2[h][/tex] и оттук надолу е същото...