Четириъгълник

[Гост]

Screenshot_20231030_225009_Microsoft 365 (Office).jpg (65.18 KiB) Прегледано 541 пъти

[ammornil]

Ето идеята, съжалявам че е нахвърлена набързо.

Щом [tex]MNPQ[/tex] е квадрат, значи четирите еднакви триъгълника са правоъгълни. Сборът от острите ъгли на всеки от тях е [tex]90^{\circ}[/tex].
От еднаквостите имаме, че [tex]\angle{DAM}=\angle{CDQ} \Rightarrow \angle{ADC}=\angle{ADM}+\angle{CDQ}=\angle{ADM}+\angle{DAM}=90^{\circ}[/tex]
Аналогично и за останалите ъгли на големия четириъгълник излиза, че са прави, значи е правоъгълник. Но страните на големия четириъгълник са хипотенузи на еднакви триъгълници, значи са равни, следователно [tex]ABCD[/tex] е квадрат.
Като знаем обиколката на един квадрат, страната му е една четвърт от обиколката. Лицето на квадрат е страна по страна.
Лицето на малкия квадрат е [tex]1cm^{2}[/tex], защото обиколтата [tex]4cm[/tex] дава страна [tex]1cm[/tex]. Тогава общата площ на четирите триъгълника е [tex]24cm^{2}[/tex] (лицето на големия квадрат минус лицето на малкия), площта на един тръгълник е [tex]6cm^{2}[/tex]. Ако късия катет на тръгълник означим с [tex]BN=x, АМ=BN=x,[/tex], то дългия катет [tex]AN=AM+MN=x+1[/tex] (добавя се страна на малкия квадрат). За лицето на правоъгълен триъгълник знаем, че
[tex]S_{\triangle{ABN}}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot BN[/tex]
[tex]\Rightarrow 6=\frac{1}{2}\cdot (x+1) \cdot x \Leftrightarrow x^{2}+x-12=0 \Rightarrow x^{2}-3x+4x-12=0 \Leftrightarrow x(x-3)+4(x-3)=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+4)=0[/tex]
Едно произведение е нула, ако има множител нула. [tex]x-3=0 \Leftrightarrow x=3 >0[/tex] е решение; [tex]x+4=0 \Leftrightarrow x=-4 <0[/tex] не е решение;
Получихме, че [tex]BN=3cm, AN=4cm, AB=5cm[/tex]