Уравнение

[Гост]

Здравейте! Имам едно питане, което не ми дава мира. Ако реша задачата [tex]\frac{x}{2}- \frac{3x}{4}+1= \frac{x}{8}- \frac{1}{2}[/tex] с извършване на НОК за всяка една страна от даденото уравнение, то би трябвало знаменателите да се умножат с числителите, изхождайки от основното свойство на пропорциите. Второ, ако приведа и двете страни на уравнението под общ знаменател (В случая 8), то знаменателят отпада. Коренът и при двата метода е 4. Но всъщност пробвах и нещо друго, което ме обезпокой, а именно, да приведа всяка страна индивидуално под НОК и знаменателите отпаднат по отделно и пак ще получа корена: [tex]2x -3x+4= x-4[/tex] [tex]-2x=-8[/tex],а това няма как да се случи, защото така не се решават уравнения. Струва ми се абсолютна случайност. Какво мислите?

[ammornil]

Здравейте! Имам едно питане, което не ми дава мира. Ако реша задачата [tex]\frac{x}{2}- \frac{3x}{4}+1= \frac{x}{8}- \frac{1}{2}[/tex] с извършване на НОК за всяка една страна от даденото уравнение, то би трябвало знаменателите да се умножат с числителите, изхождайки от основното свойство на пропорциите. Второ, ако приведа и двете страни на уравнението под общ знаменател (В случая 8), то знаменателят отпада. Коренът и при двата метода е 4. Но всъщност пробвах и нещо друго, което ме обезпокой, а именно, да приведа всяка страна индивидуално под НОК и знаменателите отпаднат по отделно и пак ще получа корена: [tex]2x -3x+4= x-4[/tex] [tex]-2x=-8[/tex],а това няма как да се случи, защото така не се решават уравнения. Струва ми се абсолютна случайност. Какво мислите?

Всяка от страните под свой знаменател и после пропорция...
[tex]\underbrace{\frac{\overset{2}{x}}{2}- \frac{\overset{1}{3x}}{4}+\overset{4}{1}}_{4}=\underbrace{\frac{\overset{1}{x}}{8}- \frac{\overset{4}{1}}{2}}_{8} \Leftrightarrow \frac{2\cdot{x}-3\cdot{x}+4\cdot{1}}{4}=\frac{1\cdot{x}-4\cdot{1}}{8} \Leftrightarrow \frac{-x+4}{4}=\frac{x-4}{8} \Leftrightarrow \\ \hspace{6em} 8(4-x)=4(x-4) \Leftrightarrow 32-8x=4x-16 \Leftrightarrow -8x-4x=-16-32 \Leftrightarrow \\ \hspace{6em} -12x=-48 \Leftrightarrow[/tex]$$ \boxed{ x=4 }$$

Директно НОК на цялото равенство...
[tex]\underbrace{\frac{\overset{4}{x}}{2}-\frac{\overset{2}{3x}}{4}+\overset{8}{1}=\frac{\overset{1}{x}}{8}- \frac{\overset{4}{1}}{2}}_{8} \Leftrightarrow 4\cdot{x}-2\cdot{3x}+8\cdot{1}=1\cdot{x}-4\cdot{1} \Leftrightarrow 4x-6x+8=x-4 \Leftrightarrow \\ \hspace{6em} -2x-x=-4-8 \Leftrightarrow -3x=-12 \Rightarrow[/tex]$$ \boxed{ x=4 }$$

Третото Ви предложение за решение е така наречената "тривиална пропорция" [tex]\frac{0}{a}=\frac{0}{b}, a\ne0, b\ne0[/tex]. Допускате, че всяка от двете страни има числител нула, следователно можете да махнете знаменателите без значение, че не са равни. $$ \frac{-x+4}{4}=\frac{x-4}{8} $$ Понеже за решението [tex]x=4[/tex] двете страни ще имат числители равни на нула, равенството е вярно. Но допускането което правите, че може да махнете знаменателите е неправилно отвъд тривиалната пропорция, тоест ако решението не приравнява числителите на двете страни на пропорцията към нула, знаменателите трябва да се приведат отново под НОК. Понеже, в началото не знаем какво е решението, никога не подхождаме към допускане за тривиална пропорция.

[Гост]

От написанот разбирам, че отпадането на знаменателите, в случай, че съм привел всяка страна поотделно, е недопустимо и водещо до грешки?

[ammornil]

От написанот разбирам, че отпадането на знаменателите, в случай, че съм привел всяка страна поотделно, е недопустимо и водещо до грешки?

Да, Вашето наблюдение от по-горе е много тесен частен случай на линейните уравнения, което няма общо приложение. Придържайте се към общите принципи за решения.