Уравнения

[Гост]

Трябва ми помощ за трите задачи, благодаря
предварително!

1зад. Цифрата на десетиците на едно двуцифрено число е с 2 по-голяма от тази на единиците. Сумата от цифрите на това число е ⅐ от него. Намерете числото.

2зад. Разликата между цифрите на едно двуцифрено число е 2, а разликата между него и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, е 18. Кое е числото?

3зад. Трицифрено число има три стотици и седем десетици. Ако прибавим към него 99, ще получим число, написано със същите цифри, но в обратен ред. Намерете числото.

[ammornil]

1зад. Цифрата на десетиците на едно двуцифрено число е с 2 по-голяма от тази на единиците. Сумата от цифрите на това число е ⅐ от него. Намерете числото.

[tex]\overline{ab}_{(10)}=10a+b \\ a = b+2 \\ a+b=\frac{1}{7}(10a+b) \Leftrightarrow b+2+b=\frac{1}{7}[10(b+2)+b] \Leftrightarrow 7(2b+2)=10b+20+b \Leftrightarrow 14b+14=11b+20 \Leftrightarrow 14b-11b=20-14 \Leftrightarrow \\ \hspace{6em} \Leftrightarrow 3b=6 \Leftrightarrow b=2[/tex] $$ a=4, b=2 \Rightarrow \overline{ab}_{(10)}=42$$

[ammornil]

2зад. Разликата между цифрите на едно двуцифрено число е 2, а разликата между него и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, е 18. Кое е числото?

Допускаме, че се има в предвид, че числото записано със същите цифри но в обратен ред е по-малко от даденото (за да имат положителна разлика 18).
[tex]\overline{ab}_{(10)}=10a+b, \hspace{0.4em} \overline{ba}_{(10)}=10b+a, \hspace{0.4em} 0<b<a<10, a \in Z^{+}, b \in Z^{+} \\ a = b+2 \\ 10a+b-(10b+a)=18 \Leftrightarrow 10a+b-10b-a=18 \Leftrightarrow 9a-9b=18 \Leftrightarrow 9(a-b)=18 \Leftrightarrow a=b+2[/tex]
За цифите [tex](a,b)[/tex] се знае, че имат разлика 2, и че записани в този ред дават двуцифрено число (тоест [tex]a\ne 0[/tex]). Понеже [tex]a>b \cap a=b+2 \Rightarrow a\ge 2[/tex]
Като даваме стойност на [tex]a[/tex] намираме [tex]b[/tex]. Решенията са: $$ \begin{array}{lll} a & b & \overline{ab}_{(10)} \\ 2 & 0 & 20 \\ 3 & 1 & 31 \\ 4 & 2 & 42 \\ 5 & 3 & 53 \\ 6 & 4 & 64 \\ 7 & 5 & 75 \\ 8 & 6 & 86 \\ 9 & 7 & 97 \end{array}$$

[ammornil]

3зад. Трицифрено число има три стотици и седем десетици. Ако прибавим към него 99, ще получим число, написано със същите цифри, но в обратен ред. Намерете числото.

[tex]\overline{37a}_{(10)}=3\cdot{100}+7\cdot{10}+a \\ 3\cdot{100}+7\cdot{10}+a+99=100\cdot{a}+7\cdot{10}+3 \Leftrightarrow 300+70+99+a=100a+70+3 \Leftrightarrow 100a-a=469-73 \Leftrightarrow 99a=369 \Leftrightarrow a=4[/tex]$$ \overline{37a}_{(10)}=374 $$