Задача с ъглополавящи

[Гост]

В триъгълник AВС АР и ВQ са ъглополовящи. Ако ∠AQB + <APB = 150°, да се намери <АСВ.

[S.B.]

В триъгълник AВС АР и ВQ са ъглополовящи. Ако ∠AQB + <APB = 150°, да се намери <АСВ.

Без заглавие - 2024-02-04T162608.738.png (209.53 KiB) Прегледано 1653 пъти

Нека [tex]\angle CAB = \alpha , \angle CBA = \beta , \angle ACB = \gamma , \angle AQB = \varphi _{1 } , \angle APB = \varphi _{2 }[/tex]
От [tex]\triangle ABC \rightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 180 ^\circ - \gamma[/tex] (1)
От [tex]\triangle AQB \rightarrow \alpha + \frac{ \beta }{2} + \varphi _{1 } = 180 ^\circ[/tex](2)
От [tex]\triangle APB \rightarrow \frac{ \alpha }{2} + \beta + \varphi _{2 } = 180 ^\circ[/tex](3)
Събирам почленно равенства (2)и (3) и получавам:
[tex]\alpha + \frac{ \alpha }{2} + \beta + \frac{ \beta }{2} + \varphi _{1 } + \varphi _{2 } = 360 ^\circ \Leftrightarrow[/tex]
[tex](\alpha + \beta) + \frac{ \alpha + \beta }{2} + 150 ^\circ = 360 ^\circ \Leftrightarrow[/tex]
[tex]180 ^\circ - \gamma + \frac{180 ^\circ - \gamma }{2} + 150 ^\circ = 360 ^\circ \Leftrightarrow[/tex] (тук използвам равнство (1))
[tex]180 ^\circ - \gamma + 90 ^\circ - \frac{ \gamma }{2} + 150 ^\circ = 360 ^\circ \Leftrightarrow[/tex]
[tex]- \frac{3}{2} \gamma = -60 ^\circ \Leftrightarrow 3 \gamma = 120 ^\circ \Rightarrow \gamma = 40 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle ACB = 40 ^\circ $$