задача триъгилник

[Гост]

Здравейте, моля за помощ за тази задача. Това ми е чертежът, но по-нататък не виждам как да използвам ъглите от 30 градуса.

[ptj]

В седми клас знаете, че в правоъгълен триъгълник страна срещу ъгъл от [tex]30^\circ[/tex] е половината от хипотенузата - използвай го + Питагорова теорема.

Ще ти трябва два пъти съответно за двата правоъгълни тригълника, чиито лица се търсят.

Може да приемеш LQ=x и да изразиш двете търсени лица чрез него.

П.П. Ще ти бъде по-лесно ако първо намериш трите страни на [tex]\triangle LQR[/tex], a след това и на [tex]\triangle LRK[/tex].
Отговора е 1:4.

[S.B.]

Без заглавие - 2024-03-03T074702.016.png (233.9 KiB) Прегледано 2768 пъти

Ето и още един поглед върху задачата:
Oще в 5 - 6 клас е учено,че лицата на триъгълници с еднакви височини се отнасят така както основите им
$$\Rightarrow \frac{ S_{LKR } }{ S_{LQR } } = \frac{LK}{LQ}$$
$LR$ е ъглополовяща на [tex]\angle PRK \Rightarrow[/tex] т.$L$ е на равни разстояния от раменете на ъгъла (учи се в 7 клас)
Ето защо построявам [tex]LM \bot PR \Rightarrow LM = LK = x[/tex]
В [tex]\triangle MLP, LM[/tex] е катет срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow PL=2.ML \Rightarrow PL =2x[/tex]
За отсечката $PK$ имаме:
[tex]PK = PL + LK \Leftrightarrow 6 = 2x + x \Leftrightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2[/tex]
[tex]\Rightarrow LK = 2,LQ = 2 + 6 = 8[/tex]
Тогава:
[tex]\frac{ S_{LKR } }{ S_{LQR } } = \frac{LK}{LQ} = \frac{2}{8}[/tex]
$$\Rightarrow S_{LKR } : S_{LQR } = 1 : 4$$

[Гост]

Много благодаря! Ще използвам втория начин, за който не се бях сетила. Иначе виждах, че съотношението е 1:4, знам, че катетът е 1/2 от хипотенузата, но ме объркваше това, че не знаех как да намеря LK.

[ptj]

[tex]LQ=x[/tex], LR=[tex]\frac{1}{2}LQ= \frac{x}{2}[/tex] (страна срещу ъгъл [tex]30 ^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник)

[tex]RQ^2=LQ^2-LR^2= x^2-\frac{x^2}{4}= \frac{3}{4}x^2[/tex]

[tex]LK= \frac{1}{2} LR= \frac{1}{2} \frac{x}{2}= \frac{x}{4}[/tex] (страна срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгъкник).

[tex]RK[/tex] може да се намери или от [tex]S_{LQR}[/tex] или с Питагорова теорема. Ето втория начин:

[tex]RK^2=LR^2-KL^2= \frac{x^2}{4}- \frac{x^2}{16}= \frac{3}{16}x^2[/tex]

[tex]S_ {\triangle LRK}: S_ {\triangle LQR}= \frac{LK.RK}{LR.RQ}= \frac{ \frac{x}{4}. \frac{ \sqrt{3}x }{4} }{ \frac{x}{2}. \frac{ \sqrt{3} x}{2} }= \frac{1}{4}[/tex]

П.П. Друг начин за намиране на втория катет е чрез залепяне на два правоъгълни триъгълника един за друг до равностранен и минаване през Херонова формула за лицето на получения триъгълник.

Всъщност не съм сигурен дали Питагорова теорема не се учи в 8- клас, затова ще ти дам още една идея:

Стига да знаеш. че медианата в правоъгълен триъгълник е половината от хипотенузата, може да означиш с М средата на LQ.
Тогава [tex]\triangle LMR[/tex] получава равностранен (две страни и ъгъл [tex]60^\circ[/tex]).
Съответно [tex]LK[/tex] e височина, медиана и ъглополовяща в последния, сл. [tex]S_{ \triangle LKR}= \frac{1}{2}S_ { \triangle LRM}[/tex].
Освен това [tex]S_{ \triangle LRM}= \frac{1}{2} S_{ \triangle LQR}[/tex] (обща височина).