Еднакви триъгълници

[Гост]

Здравейте!
Може ли помощ за тези две задачи?
Зад. 1 Докажете, че тр. ABC е еднакъв на тр. A1B1C1, ако алфа = алфа 1, бета = бета 1, c + a = c1 + a1.
Зад. 2 Докажете, че тр. ABC е еднакъв на тр. A1B1C1, ако алфа = алфа 1, бета = бета 1, a + b + c = a1 +b1 + c1

[S.B.]

Зад. 1 Докажете, че тр. ABC е еднакъв на тр. A1B1C1, ако алфа = алфа 1, бета = бета 1, c + a = c1 + a1

Без заглавие - 2024-03-03T190427.394.png (278.08 KiB) Прегледано 2922 пъти

Дадено:
[tex]\triangle ABC , \triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]
[tex]\angle A = \alpha , \angle A_{1 }= \alpha _{1 }[/tex]
[tex]\alpha = \alpha _{1 }[/tex]
[tex]\angle B = \beta , \angle B_{1 } = \beta _{1 }[/tex]
[tex]\beta = \beta _{1 }[/tex]
[tex]AB = c , BC = a , AC = b[/tex]
[tex]A_{1 } B_{1 } = c_{1 } , B_{1 } C_{1 }= a_{1 } , A_{1 } C_{1 } = b_{1 }[/tex]
[tex]a + c = a_{1 } + c_{1 }[/tex]
Да се докаже:
[tex]\triangle ABC \cong \triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]

Доказателство:
Върху продължението на страната $AB$ нанасям т.$M$, такава,че $BM = BC = a$
Аналогично върху продължението на [tex]A_{1 } B_{1 }[/tex] нанасям т.[tex]M_{1 }[/tex] така,че [tex]B_{1 } M_{1 } = B_{1 } C_{1 } = a_{1 }[/tex]
[tex]AM = c + a , A_{1 } M_{1 } = c_{1 } + a_{1 }[/tex]
$$\Rightarrow AM = A_{1 } M_{1 } $$
[tex]\triangle BMC[/tex] е равнобедрен , [tex]\angle BMC = \angle BCM = \varphi[/tex]
[tex]\angle \beta[/tex] е външен ъгъл за [tex]\triangle BMC \Rightarrow \beta = 2 \varphi[/tex]
Аналогични разсъждения правим за [tex]\triangle B_{1 } M_{1 } C_{1 }[/tex] и [tex]\angle \beta _{1 }= 2 \varphi _{1 }[/tex]
По условие [tex]\beta = \beta _{1 } \Rightarrow 2 \varphi = 2 \varphi _{1 }[/tex]
$$ \Rightarrow \varphi = \varphi _{1 }$$
По условие :
$$\alpha = \alpha _{1 } $$
[tex]\Rightarrow \triangle AMC \cong \triangle A_{1 } M_{1 } C_{1 }[/tex] (по страна и два ъгъла - втори признак)
$$\Rightarrow AC = A_{1 } C_{1 } $$
От [tex]\begin{cases} \alpha = \alpha _{1 } \\ \beta = \beta _{1 } \end{cases} \Rightarrow \gamma = \gamma _{1 }[/tex] (понеже сборът на ъглите в триъгълника е [tex]180^\circ[/tex])

[tex]\Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] (по страна и два ъгъла - втори признак)

Скрит текст: покажи

[tex]AC =A_{1 } C_{1 } , \alpha = \alpha _{1 } , \gamma = \gamma _{1 }[/tex]

[Гост]

Благодаря, S. B.!
Не се досетих за допълнителното построение.

[S.B.]

Зад. 2 Докажете, че тр. ABC е еднакъв на тр. A1B1C1, ако алфа = алфа 1, бета = бета 1, a + b + c = a1 +b1 + c1

Без заглавие - 2024-03-03T214351.065.png (328.75 KiB) Прегледано 2918 пъти

Върху продължението на страната $AB$ на [tex]\triangle ABC[/tex] нанасям т.$M$ такава,че $BM = BC = a$ и т.$N$ такава,че $AN = AC = b$
Аналогично върху продължението на страната [tex]A_{1 } B_{1 }[/tex] нанасям точки [tex]M_{1 }[/tex] и [tex]N_{1 }[/tex] такива,че [tex]A_{1 } N_{1 } = A_{1 } C_{1 } = b_{1 }[/tex] и [tex]B_{1 } M_{1 } = B_{1 }C _{1 } = a_{1 }[/tex]
[tex]\begin{cases} MN = a + b + c \\ M_{1 } N_{1 }= a_{1 }+ b_{1 } + c_{1 } \end{cases} \Rightarrow MN = M_{1 } N_{1 }[/tex]

[tex]\triangle ANC[/tex] е равнобедрен, [tex]\angle ANC = \angle NCA = \delta[/tex]
[tex]\angle \alpha[/tex] е външен за [tex]\triangle ANC \Rightarrow \alpha = 2 \delta[/tex]
[tex]\triangle BMC[/tex] е равнобедрен, [tex]\angle BMC = \angle MCB = \varphi[/tex]
[tex]\angle \beta[/tex] е външен за [tex]\triangle BMC \Rightarrow \beta = 2 \varphi[/tex]
С аналогични разсъждения за [tex]\triangle A_{1 } N_{1 } C_{1 }[/tex] и [tex]\triangle B_{1 } M_{1 } C_{1 }[/tex]
получаваме ,че [tex]\alpha _{1 } = 2 \delta _{1 }[/tex] и [tex]\beta _{1 } = 2 \varphi _{1 }[/tex]
По условие [tex]\alpha = \alpha _{1 } \Leftrightarrow 2 \delta = 2 \delta _{1 }[/tex]
$$\Rightarrow \delta = \delta _{1 } $$
Аналогично [tex]\beta = \beta _{1 } \Leftrightarrow 2 \varphi = 2 \varphi _{1 }[/tex]
$$\Rightarrow \varphi = \varphi _{1 } $$
[tex]\Rightarrow \triangle NMC \cong \triangle N_{1 } M_{1 } C_{1 }[/tex] ( по страна и два ъгъла - втори признак)
[tex]\Rightarrow NC = N_{1 } C_{1 } \Rightarrow \triangle ANC \cong \triangle A_{1 } N_{1 } C_{1 }[/tex] (по страна и дв ъгъла - втори признак)
$$\Rightarrow AC = A_{1 } C_{1 } $$
По условие [tex]\begin{cases} \alpha = \alpha _{1 } \\ \beta = \beta _{1 } \end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow \gamma = \gamma _{1 } $$
[tex]\Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] (по страна и два ъгъла - втори признак)

Скрит текст: покажи

[tex]AC = A_{1 } C_{1 } , \alpha = \alpha _{1 }, \gamma = \gamma _{1 }[/tex]

[S.B.]

Благодаря, S. B.!
Не се досетих за допълнителното построение.

Това е метода на разгърнатия периметър,който съм изучавала като студентка в МФ на СУ "Св.Климент Охридски" по предмета "Методика на преподаването на математика" преди повече от 50 години!

[ptj]

Ако не беше за седми клас ставаше с един ред:
Двата триъгълник са подобни, а коефициента на подобие е 1.

Същата идея може да се обясни с вектори или теорема на Талес.

[Гост]

Ако не беше за седми клас ставаше с един ред:
Двата триъгълник са подобни, а коефициента на подобие е 1.

Същата идея може да се обясни с вектори или теорема на Талес.

Е,да,но задачата е за 7 клас,а накои хора са учили освен математика и методика на математиката...

[ptj]

Ако питаш един състезател, участващ на международна олимпиада по математика за методиката на решаване на задачи, вероятно ще има в пъти повече знания от който и да е автор на подобни учебници. Просто за всеки влак си има пътници...

П.П. Не казвам нищо лошо за колежката, точно обратното- много малко са хората тук имащи нейните знания, опит и търпение за обяснения.