Доказателство

[Гост]

Смятам, че тази задача се доказва с построяването на симетрала на отсечката, играеща роля на произволен катет. Нека АВ е 4х, а перпендикулярът СH e равен на х. Построяваме СМ - медиана към хипотенузата. Точката М лежи на АВ. След построяването на симетралата към един от катетите, се е вижда, че пресечната точка на симетралата с хипотенузата съвпада с М. Всяка точка, лежаща на симетралата е на равни разстояния от краищата на отсечката. Така СМ=ВМ. Ако означим пресечната точка на симетралата на ВС и страната ВС е точка Р. Ако разгледаме триъгълник СHМ, ще видим, че имаме страна, която е 2х, защото СМ=ВМ, където АВ е 4х, а CH = x, оттук намираме, че ъгълът, лежащ срещу CH е 30 градуса, защото е два пъти по-малък от хипотенузата СМ.
Прилага се теоремата за сбор на ъглите в триъгълник и аналогично се повтаря за целия триъгълник АВС. Може ли да ми кажете дали съм на верен път?

[ptj]

Без загуба на общност можа да приемем, че [tex]H[/tex] по- близо до [tex]A[/tex], отколкото до [tex]B[/tex].

Построй медианата CM.

[tex]CM= \frac{1}{2} AB=2.h_c[/tex]

В правоъгълния [tex]\triangle CHM[/tex], [tex]CH=h_c[/tex] и [tex]CM=2.h_c[/tex], сл. [tex]\angle CMH=30 ^\circ[/tex].

Последния ъгъл е външен за равнобедрения [tex]CMB[/tex],

сл. [tex]30 ^\circ= \angle CMH= \angle MCB + \angle MBC=2 \angle MBC \Rightarrow \angle MBC=15 ^\circ[/tex].

П.П. Използвах, торема, която е обратна на тзи която знаете за страна срещу ъгъл от 30 градуса в правоъгълен триъгълник.
Нейното доказателство е много кратко с изполването на втори признак за еднаквост на триъгълници.

[Гост]

Без загуба на общност можа да приемем, че [tex]H[/tex] по- близо до [tex]A[/tex], отколкото до [tex]B[/tex].

Построй медианата CM.

[tex]CM= \frac{1}{2} AB=2.h_c[/tex]

В правоъгълния [tex]\triangle CHM[/tex], [tex]CH=h_c[/tex] и [tex]CM=2.h_c[/tex], сл. [tex]\angle CMH=30 ^\circ[/tex].

Последния ъгъл е външен за равнобедрения [tex]CMB[/tex],

сл. [tex]30 ^\circ= \angle CMH= \angle MCB + \angle MBC=2 \angle MBC \Rightarrow \angle MBC=15 ^\circ[/tex].

П.П. Използвах, торема, която е обратна на тзи която знаете за страна срещу ъгъл от 30 градуса в правоъгълен триъгълник.
Нейното доказателство е много кратко с изполването на втори признак за еднаквост на триъгълници.

Идеята е да се докаже по друг начин. Затуй и попитах дали съм на верен път

[peyo]

Смятам, че тази задача се доказва с построяването на симетрала на отсечката...

Това звучи сложно. Да се опитаме да решим задачата директно, като просто проверим далу [tex]\angle 15 ^\circ[/tex] отговаря на условието на задачата.

Screenshot 2024-03-04 094912.jpg (23.9 KiB) Прегледано 2878 пъти

Праватаа AC e:
$y=tan(15^\circ)x$

In [288]: math.tan(math.radians(15))
Out[288]: 0.2679491924311227

$y=0.2679491924311227 x$
или в общ вид:
$0.2679491924311227 x -y = 0$

Пресича правата $y=1$ в C в изчисленото x:

$1=0.2679491924311227 x$
$x = 1/0.2679491924311227 = $ 3.7320508075688776

Перпендикулярна на AC от общия вид ще е:
$ x +0.2679491924311227y = 0$

Ако искаме да мине през точка B трябва да я отместим с 4:
$ x +0.2679491924311227y -4= 0$

Да видим в кое x пресича DE:

$ x +0.2679491924311227 -4= 0$
$ x =4- 0.2679491924311227 =$ 3.732050807568877

В същото x където е C, с което задачата е решена.

[Евва]

Ето една идея : Построяваме правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВС (като a>b) с хипотенуза АВ =c=4[tex]h_{c }[/tex] .
Да начертаем същия правоъг. [tex]\triangle[/tex]А[tex]С_{1 }[/tex]В .
Точките С и [tex]С_{1 }[/tex] лежат в различни полуравнини относно правата АВ .
[tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]АВС по построение ,тогава [tex]С_{1 }[/tex]Н=СН=[tex]h_{c }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] C[tex]C_{1 }[/tex]=2[tex]h_{c }[/tex] (1)

Построяваме медианите СМ и [tex]С_{1 }[/tex]М в правоъг. тр-ци АВС , А[tex]С_{1 }[/tex]В
СМ=[tex]С_{1 }[/tex]М=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] =[tex]\frac{4 h_{c } }{2}[/tex] т.е. СМ=[tex]С_{1 }[/tex]М=2[tex]h_{c }[/tex] (2)

От (1) и (2) следва ,че [tex]\triangle[/tex][tex]С_{1 }[/tex]МС е равностранен с ъгли от 60[tex]^\circ[/tex]
Дадено е ,че [tex]\angle[/tex]ВНС=90[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]МНС=[tex]\angle[/tex]ВНС =90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] МН се явява височина в равностранния [tex]\triangle[/tex][tex]С_{1 }[/tex]МС .
Тогава МН се явява и ъглополовяща на [tex]\angle[/tex][tex]С_{1 }[/tex]МС ; [tex]\angle[/tex]СМН=[tex]\frac{ \angle С_{1 } МС }{2}[/tex]=[tex]\frac{60 ^\circ }{2} =30 ^\circ[/tex]

Доказахме ,че [tex]\angle[/tex]СМН=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] съседният [tex]\angle[/tex]СМВ=150[tex]^\circ[/tex] (3)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]МВС -равнобедрен ,защото ВМ=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex]=СМ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВСМ=[tex]\angle[/tex]СВМ=[tex]\beta[/tex]
За финал [tex]\angle[/tex]СМВ+[tex]\angle[/tex]МВС+[tex]\angle[/tex]ВСМ =180[tex]^\circ[/tex]
150[tex]^\circ + \beta+ \beta =180 ^\circ[/tex]
2[tex]\beta=30 ^\circ[/tex]
[tex]\beta =15 ^\circ[/tex]

[ptj]

Има експресно доказателство, но не е с материaл за седми клас:

[tex]x.sin( \alpha) . x. cos ( \alpha )=2S_ \triangle =x. \frac{x}{4} \Leftrightarrow sin(2 \alpha )= \frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha =30 ^\circ[/tex]