Задачa

[Гост]

В правоъгълник триъгълник ABC: CH, CL, CM са съответно височина, ъглополовяща и медиана към хипотенузата. Докажете, че CL е ъглополовяща на ъгъл HCM.

[S.B.]

В правоъгълник триъгълник ABC: CH, CL, CM са съответно височина, ъглополовяща и медиана към хипотенузата. Докажете, че CL е ъглополовяща на ъгъл HCM.

Без заглавие - 2024-03-09T164507.491.png (219.42 KiB) Прегледано 2728 пъти

Нека [tex]\angle ACB = 90 ^\circ , \angle A = \alpha , \angle B = \beta = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
$CL$ е ъглополовяща на [tex]\angle ACB \Rightarrow \angle ACL = \angle BCL = 45 ^\circ[/tex]
$CМ$ е медиана [tex]\Rightarrow AM = MC \Rightarrow \triangle AMC[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle ACM = \angle CAM = \alpha[/tex]
$$\Rightarrow \angle MCL = 45 ^\circ - \alpha $$
$CH$ е височина [tex]\Rightarrow \triangle BCH[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle HCB = 90 ^\circ - \beta= 90 ^\circ- (90 ^\circ - \alpha) \Leftrightarrow \angle HCB = \alpha[/tex]
$$\Rightarrow \angle HCL = 45 ^\circ - \alpha $$
[tex]\begin{cases} \angle MCL = 45 ^\circ - \alpha \\ \angle HCL = 45 ^\circ - \alpha \end{cases} \Rightarrow \angle MCL = \angle HCL[/tex]
[tex]\Rightarrow CL[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle MCH[/tex]