Задачи

[Гост]

Screenshot_20240416_225226_Samsung Internet.jpg (43.64 KiB) Прегледано 150 пъти

[Евва]

Нека [tex]S_{AB }[/tex][tex]\cap[/tex]AB в т.H и [tex]S_{AC }[/tex][tex]\cap[/tex]AC в т.P .
За всеки тр-k знаем ,че трите симетрали се пресичат в една точка .
т.е. [tex]S_{BC }[/tex] също минава през т.О [tex]\Rightarrow[/tex] OB=OC (1)
Дадено е ,че OB=BC (2)
От (1) и (2) следва ,че [tex]\triangle[/tex]OBC е равностранен и тогава [tex]\angle[/tex]BOC=60[tex]^\circ[/tex]
Лесно се доказва ,че [tex]\triangle[/tex]AHO[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]HBO ,което значи ,че [tex]\angle[/tex]AOH=[tex]\angle[/tex]BOH =[tex]\frac{ 1 }{2}[/tex][tex]\angle[/tex]AOB (3)
Доказваме ,че [tex]\triangle[/tex]AOP[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]OCP ,което значи ,че [tex]\angle[/tex]AOP=[tex]\angle[/tex]COP=[tex]\frac{ 1 }{2}[/tex][tex]\angle[/tex]AOC (4)

[tex]\angle[/tex]AOB+[tex]\angle[/tex]AOC+[tex]\angle[/tex]BOC =360[tex]^\circ[/tex] |:2[tex]\ne[/tex]0
[tex]\frac{ 1 }{2}[/tex][tex]\angle[/tex]AOB[tex]+ \frac{ \angle AOC}{2} + \frac{60 ^\circ }{2} =\frac{360 ^\circ }{2}[/tex] виж (3) и (4)

[tex]\angle[/tex]AOH+[tex]\angle[/tex]AOP+30[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]HOP=150[tex]^\circ[/tex] (5)
Разглеждаме четириъгълника AHOP .
[tex]\angle[/tex]HAP+[tex]\angle[/tex]AHO+[tex]\angle[/tex]HOP+[tex]\angle[/tex]OPA =360[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]BAC+90[tex]^\circ[/tex]+150[tex]^\circ[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]=360[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAC=30[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

Интересно е ,че в решението не използвахме дадения [tex]\angle[/tex]ВАО=20[tex]^\circ[/tex] .