Задача от триъгълници

[Гост]

IMG_20240420_023747.jpg (122.66 KiB) Прегледано 202 пъти

[Гост]

Само за подточка б) ако може насока за решаване.

[S.B.]

Без заглавие - 2024-04-20T181950.362.png (215.44 KiB) Прегледано 166 пъти

Дадено е в [tex]\triangle ABC , AL[/tex] е ъгополовяща , [tex]CD \bot AB ,AL \cap CD = M , CD = AL ,PM||AB ,CP : PA = 2 : 1[/tex]
Ще докажем, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен

[tex]\angle D AM = \angle AMP[/tex] (кръстни)
[tex]\angle DAM = \angle PAM = \frac{1}{2} \angle BAC[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MAP = \angle PMA \Leftrightarrow \triangle AMP[/tex] е равнобедрен и $AP = PM$

[tex]\begin{cases} CP = 2.AP\\ AP = PM \end{cases} \Rightarrow CP = 2.PM[/tex]
[tex]\angle CMP = \angle CDA = 90 ^\circ[/tex] ( съответни) [tex]\Rightarrow \triangle PMC[/tex] е правоъгълен
[tex]\begin{cases} \triangle PMC \text правоъгълен\\ PC = 2.PM \end{cases} \Rightarrow \angle PCM = 30 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ADC \rightarrow \angle CAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle CAL = \angle LAB = 30 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle ALC \cong \triangle ACD[/tex] (първи признак):
$AC$ е обща , $AL = CD$ по условие , [tex]\angle LAC = \angle ACD = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CAD = \angle ACL = 60 ^\circ \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен