Задача за квадрат

[Гост]

Докажете, че средите на страните на даден квадрат са върхове на друг квадрат, чието лице е 2 пъти по-малко от лицето на дадения

[ammornil]

Докажете, че средите на страните на даден квадрат са върхове на друг квадрат, чието лице е 2 пъти по-малко от лицето на дадения

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-05-16 122734.png (47.22 KiB) Прегледано 229 пъти

[tex]\\[/tex]
Всички сини триъгълници са еднакви: правоъгълни с равни катети. Острите им ъгли са по [tex]45^{\circ}[/tex]. От еднаквостта на сините триъгълници следва, че страните на [tex]NMPQ[/tex] са равни помежду си, а ъглите му са прави [tex]180^{\circ}-2\cdot{}45^{\circ}[/tex]. Оттам фигурата е квадрат.
Нека [tex]AB=BC=CD=AD=a[/tex]. Лицето на един син триъгълник е [tex]\frac{1}{2}\cdot{\frac{a}{2}}\cdot{\frac{a}{2}}=\frac{a^{2}}{8}[/tex], общо синята площ е [tex]4\cdot{\frac{a^{2}}{8}}=\frac{a^{2}}{2}[/tex], лицето на големия квадрат е [tex]a^{2}[/tex]. Тогава, лицето на вътрешния квадрат е [tex]a^{2}-\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}[/tex], точно половината.