Задача

[Гост]

В триъгълник АВС ъглите при върховете А, В и С се отнасят както 3:4:5,CD(D лежи на АВ) е височина и точка М лежи на ВС. От точка D са построени разстоянията DP и DQ, съответно до АМ и ВС и DP=DQ.
А) Докажете, че триъгълник АDP е еднакъв с триъгълник CDQ.

[S.B.]

В триъгълник АВС ъглите при върховете А, В и С се отнасят както 3:4:5,CD(D лежи на АВ) е височина и точка М лежи на ВС. От точка D са построени разстоянията DP и DQ, съответно до АМ и ВС и DP=DQ.
А) Докажете, че триъгълник АDP е еднакъв с триъгълник CDQ.

Без заглавие - 2024-05-22T165311.892.png (295.87 KiB) Прегледано 242 пъти

[tex]\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 4 : 5 \Leftrightarrow 3x + 4x + 5x = 180 ^\circ \Leftrightarrow \Leftrightarrow 12x = 180 ^\circ \Rightarrow x = 15 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle A = 3.15 ^\circ = 45 ^\circ , \angle B = 4.15 ^\circ = 60 ^\circ , \angle C = 5.15 ^\circ = 75 ^\circ[/tex]

1)[tex]CD \bot AB , \angle A = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle ADC[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]\Rightarrow AD = CD[/tex];
2)$DP = DQ$ по условие;
3) [tex]DP \bot AM , DQ \bot BC \Rightarrow[/tex] и двата триъгълника са правоъгълни;
[tex]\Rightarrow \triangle ADP \cong CDQ[/tex] по катет и хипотенуза - четвърти признак.

[Гост]

А колко е отношението на отсечките BQ и QC?

[S.B.]

А колко е отношението на отсечките BQ и QC?

В задачата няма изискване да се намери това отношение ,но щом те интересува ето решението:

[tex]\triangle BDQ[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle QDB = 30 ^\circ \Rightarrow DB = 2.BQ[/tex]
[tex]\triangle DBC[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle DCB = 30 ^\circ \Rightarrow BC = 2.DB \Leftrightarrow BC = 4.BQ[/tex]
[tex]BC = BQ + QC = 4.BQ \Rightarrow CQ = 3.BQ[/tex]
$$\Rightarrow BQ : QC = 1 : 3$$

[Гост]

Благодаря! А ъгъл AMB=?°

[S.B.]

Благодаря! А ъгъл AMB=?°

Разглеждам [tex]\triangle ABM[/tex]:
[tex]\angle B = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle MAB = 30 ^\circ[/tex] Сега вече аз питам :ЗАЩО?
[tex]\Rightarrow \angle AMB = 90 ^\circ[/tex]