Задача за ромб и квадрат

[Гост]

Не мога да се справя с задача за упражнение от учебната тетрадка на Архимед. Благодаря за помощта!

ABCD е ромб и ъгъл ВAD = 50°. Външно за ромба е построен квадрат DCQE. Ако AC лежи на BD в точка O, а DQ лежи на СЕ в точка P, и точка М е среда на DC, намерете ъглите на триъгълник ОМP.

[Евва]

Правилно е да пишем със задачата .
Според мен AC пресича BD в т.O и DQ пресича CE в т.P .

Скрит текст: покажи

Точка О е пресечна точка на диагоналите на ромба ,а т.Р е пресечна точка на диагоналите на квадрата .

ABCD -ромб [tex]\Rightarrow[/tex] диагоналът AC разполовява ъглите му т.е.
[tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\frac{ \angle BCD}{2} = \frac{ \angle BAD }{2} = \frac{50 ^\circ }{2}[/tex]=25[tex]^\circ[/tex] (A)

ABCD - ромб [tex]\Rightarrow[/tex] AC[tex]\bot[/tex]BD т.е.[tex]\angle[/tex]COD=90[tex]^\circ[/tex] , тогава [tex]\triangle[/tex]OCD е правоъгълен с хипотенуза CD
От даденото т.М -среда на CD [tex]\Rightarrow[/tex] OM е медиана към хипотенуза в правоъг. [tex]\triangle[/tex]OCD .
OM=[tex]\frac{CD}{2}[/tex] (1)
По подобен начин можем да докажем ,че PM е медиана към хипотенуза в правоъг.[tex]\triangle[/tex]DCP .
PM=[tex]\frac{CD}{2}[/tex] (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]OMP е равнобедрен и [tex]\angle POM[/tex]=[tex]\angle[/tex]OPM (3)
От даденото CM=[tex]\frac{CD}{2}[/tex] и OM=[tex]\frac{CD}{2}[/tex] (от 1) [tex]\Rightarrow[/tex] CM=OM така доказахме ,че [tex]\triangle[/tex]OCM е равнобедрен с равни ъгли при основата [tex]\angle[/tex]MOC=[tex]\angle[/tex]OCM=[tex]\angle[/tex]ACM=[tex]\angle[/tex]ACD=25[tex]^\circ[/tex] (виж (А))

[tex]\angle[/tex]OMD е външен за [tex]\triangle[/tex]OCM [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]OMD=[tex]\angle[/tex]MOC+[tex]\angle[/tex]OCM=[tex]25 ^\circ+25 ^\circ =50 ^\circ[/tex] (4)
[tex]\angle[/tex]OMP=?
[tex]\angle[/tex]OMP=[tex]\angle[/tex]OMD+[tex]\angle[/tex]DMP=[tex]50 ^\circ +90 ^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]OMP=140[tex]^\circ[/tex] (5)

От (3) и (5) следва ,че [tex]\angle[/tex]POM=[tex]\angle[/tex]OPM=20[tex]^\circ[/tex]