Домашна работа

[Гост]

В триъгълник ABC AB=20 см, <BAC=40° , <ABC=65°. Точка M е среда на AB, а N и P са петите на височините през върховете A и B. Намерете ъглите на триъгълник MPN.

[Гост]

Намерете лицето на MPN.

[Darina73]

АВ е хипотенуза на правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВР
На [tex]\triangle[/tex]АВР РМ е медиана към хипотенузата АВ .
Теорема : Медианата към хипотенузата в правоъгълен тр-к е равна на половината от хипотенузата .
От теорема [tex]\Rightarrow[/tex] РМ=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex]=АМ (РМ=10 см.) (1) , тогава [tex]\triangle[/tex]АМР е равнобедрен
следователно [tex]\angle[/tex]АРМ =[tex]\angle[/tex]РАМ =40[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]АМР) [tex]\angle[/tex]АМР+[tex]\angle[/tex]РАМ+[tex]\angle[/tex]АРМ =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АМР +40[tex]^\circ+40 ^\circ= 180 ^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]АМР =100[tex]^\circ[/tex] (2)

По същия начин разсъждаваме за правоъгълния [tex]\triangle[/tex]ABN и намираме MN=[tex]\frac{AB}{2}[/tex]=BM (MN=10 см.) (3)
и [tex]\angle[/tex]BMN=50[tex]^\circ[/tex] (4)
[tex]\angle[/tex]AMP+[tex]\angle[/tex]PMN+[tex]\angle[/tex]BMN= 180[tex]^\circ[/tex]
100[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]PMN+50[tex]^\circ = 180^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]PMN=30[tex]^\circ[/tex] (5)
От (1) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]MNP е равнобедрен ,тогава [tex]\angle[/tex]MNP =[tex]\angle[/tex]MPN=[tex]\frac{180 ^\circ -30 ^\circ }{2} = 75 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]MNP е с ъгли 30[tex]^\circ[/tex] ,75[tex]^\circ[/tex] и 75[tex]^\circ[/tex]

Построяваме РЕ -височина в [tex]\triangle[/tex]MNP .
[tex]\triangle[/tex]MEP е правоъгълен с ъгъл PME=[tex]\angle[/tex]PMN=30[tex]^\circ[/tex]
От теорема знаем ,че PE=[tex]\frac{PM}{2}[/tex] ; виж (1) PE=5 см.

[tex]S_{MNP }= \frac{MN.PE}{2}= \frac{10.5}{2}[/tex]=25 [tex]см.^{2 }[/tex]