7 клас, еднакви триъгълници, пресечни ъглополовящи

[Гост]

Опитвам се помогна на детето със задача от раздел еднакви триъгълници, 7 клас ниво знания. Условието в общи линии е

Триъгълник ABC, ъглополвящите на A,B,C пресичат срещуположните страни в D,E,F. Единият Ъгъл (А) е 120 градуса. Да се докаже, че триъгълника DEF е правоъгълен.

Усещането ми от преди 25г е, че доказателството минава през ъгловполвяща, равно отстояние от страни, еднакви триъгълници и да се докаже, че срещу 120 градуса ъгъла, страните на DEF се явяват ъглополовящи на съседни ъгли и от там излиза 90 градуса, но малко съм ръждясал в математиката

[ptj]

Вероятно нещо липсва в условието, което сте дали.

[Darina73]

От т.Е да спуснем прпендикуляри към правите AB, BC и AD .
Нека пресечните им точки да са съответно H ,P и T .
АС се явява ъглполов. на [tex]\angle[/tex]HAD [tex]\Rightarrow[/tex] разстоянията от т.Е [tex]\in[/tex]l до рамената на ъгъла ще са равни .
ЕН=ЕТ (1)
По същата идея ВЕ е ъглополов. на [tex]\angle[/tex]HBP [tex]\Rightarrow[/tex]
ЕН=ЕР (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] ЕТ=ЕР (3)

Ползвайки (3) стигаме до идеята ,че [tex]\triangle[/tex]ETD[tex]\cong \triangle[/tex]EPD ( 4 признак) [tex]\Rightarrow[/tex]
съответните им ъгли TDE и PDE са равни [tex]\Rightarrow[/tex]
DE е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]TDP т.е. на [tex]\angle[/tex]ADC (A)

По същия начин ще докажем ,че DF е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ADB . (B)

[tex]\angle[/tex]EDF= [tex]\angle[/tex]EDA+[tex]\angle[/tex]ADF ( виж (А) и (В) ) = [tex]\frac{ ъгълADC}{2} + \frac{ъгълADB }{2}[/tex]= [tex]\frac{ ъгълCDB }{2}= \frac{180 ^\circ }{2} =90 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]EFD е правоъгълен

[Гост]

Благодаря, видях го сега.