Задачи от симетрала

[Гост]

1.Симетралата на страната АС на триъгълник АВС пресичат страната му ВС в точка М , а симетралата на страната му ВС пресича страната АС в точка N. Точките P и Q са средите съответно на страните АС и ВС.
Докажете ,че ако MP=NQ , то триъгълник АВС е равнобедрен.

2.

[ammornil]

$\boxed{\quad 1 \quad}\\[12pt]$

Screenshot 2025-03-26 135841.png (30.51 KiB) Прегледано 673 пъти

$\\[12pt] \triangle{MPC}\cong{}\triangle{NQC} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\[6pt] \angle{C} \text{ общ} \\ MP=NQ \end{cases} \Rightarrow CP=CQ \\[6pt] \begin{cases} AC=2\cdot{}CP \\ BC= 2\cdot{} CQ \\ CP=CQ \end{cases} \Rightarrow AC=BC \Rightarrow \triangle{ABC} \text{ е равнобедрен}$

[Гост]

Благодаря !
Моля за помощ и за втората задача

[ammornil]

$\boxed{\quad 2\quad}$

Screenshot 2025-03-26 164013.png (25.34 KiB) Прегледано 655 пъти

$\\[12pt] \text{1 начин} \\[6pt] \begin{array}{l} AC=BC \Rightarrow A\in{}s_{BC} \\ BD=CD \Rightarrow D\in{}s_{BC} \end{array} \Rightarrow AD \in{} s_{BC} \\[12pt]\text{2 начин} \\[6pt] AB=AC, \quad BD=CD \\[6pt] M\in{}BC, CM=BM \\[6pt] \triangle{BAC}\quad AB=AC \Rightarrow AM \text{ е медиана, височина и ъглополовяща} \Rightarrow AM\bot{}BC \\[6pt] \triangle{BDC}\quad BD=BC \Rightarrow DM \text{ е медиана, височина и ъглополовяща} \Rightarrow DM\bot{}BC \\[6pt] \begin{cases} AM\bot{}BC \\ DM\bot{}BC \end{cases} \Rightarrow AD\bot{}BC \\[6pt] \begin{cases} AD\bot{}BC \\ AD\cap{}BC=M \\ CM=BM \end{cases} \Rightarrow AD \in{} s_{BC} $