Геометрия

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ за следната задача:

Даден е ъгъл pOq и точка X е вътрешна за него. Точките X1 и X2 са симетрични на X спрямо раменете p и q на ъгъла. Да се докаже, че X1OX2=2pOq.

[ammornil]

Даден е ъгъл pOq и точка X е вътрешна за него. Точките X1 и X2 са симетрични на X спрямо раменете p и q на ъгъла. Да се докаже, че X1OX2=2pOq.

$\\[6pt]$

Screenshot 2025-03-29 062937.png (46.54 KiB) Прегледано 434 пъти

$\\[12pt]$Щом точките $X_{1}$ и $X_{2}$ са симетрични на $X$ спрямо раменете на ъгъла, значи става дума за осева симетрия. Осевата симетрия еднаквост, получена като през оригиналната точка е прекарана права, перпендикулярна на оста на симетрия, и разстоянието от оригинала до правата е равно на растоянието от образа до правата. В нашия случай, нека прекараме прави през $X$, които са перпендикулярни на раменете на дадения ъгъл. Нека тези прави пресичат раменте на ъгъла $p$ и $q$ съответно в точките $A$ и $B$. Съгласно определението за осева симетрия, следните твърдения са верни:$\\[6pt] XA=X_{1}A, \angle{OAX}=\angle{OAX_{1}}=90^{\circ}, \quad XB=X_{2}B, \angle{OBX}=\angle{OBX_{2}}=90^{\circ} \\[6pt]$Тогава зелените триъглъници на чертежа са еднакви. И сините триъгълници на чертежа са еднакви. (Можете ли да кажете защо?)$\\[6pt]$ От двете еднаквости имаме $\\[6pt] \begin{cases} \angle{XOA}=\angle{X_{1}OA} \\ \angle{XOB}= \angle{X_{2}OB} \end{cases} \Rightarrow \angle{X_{1}OX_{2}}= \angle{XOA}+\angle{X_{1}OA}+ \angle{XOB}+ \angle{X_{2}OB}= 2\cdot{}(\angle{XOA}+\angle{XOB})= 2\angle{AOB}\\[6pt]$ Това се искаше да се докаже. $\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

$\triangle{OAX} \cong{} \triangle{OAX_{1}} \because{} \begin{cases} OA \text{ обща} \\ AX=AX_{1} \\ \angle{OAX}=\angle{OAX_{1}} \end{cases} \Rightarrow \text{първи признак за еднаквост} \\[6pt] \triangle{OBX}\cong{}\triangle{OBX_{2}} \because{} \begin{cases} OB \text{ обща} \\ BX=BX_{2} \\ \angle{OAX}=\angle{OBX_{2}} \end{cases} \Rightarrow \text{първи признак за еднаквост}$