Отношение на лица на тръгълници

[ammornil]

Отговор на публикация, неправилно публикувана в Задача на седмицата$\\[24pt]$

Точката М е среда на страната АВ в триъгълник АВС.Точката Р е от страната АС като АР:РС=1:2.Каква част от лицето на триъгълник АВС е лицето на триъгълник АРМ?

$\\[6pt]$

Screenshot 2025-03-29 081048.png (33.42 KiB) Прегледано 481 пъти

$\\[12pt]\triangle{ABC}: \quad M\in{}AB, AM=BM, \quad P\in{}AC, AP:PC=1:2 \\[6pt]\quad \dfrac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=?\\[6pt]$За да решим задачата, ще докажем че медианата $CM$ разделя $\triangle{ABC}$ на два триъгълника с равни лица. След това ще докажем, че лицата на $\triangle{AMP}$ и $\triangle{MPC}$ се отнасят както страните им $AP$ и $PC$. Накрая ще намерим търсената връзка между лицата на големия и малкия триъгълник. $\\[6pt]C_{1}\in{}AB, CC_{1}\bot{}AB \\[6pt] \begin{cases} S_{AMC}=\dfrac{AM\cdot{}CC_{1}}{2} \\[6pt] S_{BMC}=\dfrac{BM\cdot{}CC_{1}}{2} \end{cases}, AM=BM \Rightarrow S_{AMC}=S_{BMC} \Rightarrow \\[6pt]$ $$(1) \quad S_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot{}S_{ABC}$$ $\\[6pt]M_{1}\in{}AC, MM_{1}\bot{}AC \\[6pt] \dfrac{S_{AMP}}{S_{MPC}}=\dfrac{\quad\dfrac{AP\cdot{}MM_{1}}{2}\quad}{\dfrac{PC\cdot{}MM_{1}}{2}}=\dfrac{AP}{PC}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \\[6pt]$ $$ (2)\quad S_{MPC}=2\cdot{}S_{AMP}$$ $\\[6pt] S_{AMP}+\overset{(2)}{S_{MPC}}=\overset{(1)}{S_{AMC}} \\[6pt] S_{AMP} +2\cdot{}S_{AMP}= \dfrac{1}{2}\cdot{}S_{ABC} \\[6pt] 3\cdot{}S_{AMP}=\dfrac{1}{2}\cdot{}S_{ABC} $ $$ S_{AMP}=\dfrac{1}{6}\cdot{}S_{ABC} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{6}$$

[azalia66]

Благодаря за подробния отговор.