ъгли в триъгълник

[Гост]

Capture.JPG (22.97 KiB) Прегледано 309 пъти

[Darina73]

а) По условие [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex]АСВ =45[tex]^\circ[/tex] (А)
[tex]\angle[/tex]BMN+[tex]\angle[/tex]CMN=180[tex]^\circ[/tex] (съседни ъгли)
[tex]\angle[/tex]BMN+135[tex]^\circ=180 ^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]BMN=45[tex]^\circ[/tex] (1)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]BNM [tex]\angle[/tex]MBN е съседен на [tex]\angle[/tex]ABM
[tex]\angle[/tex]MBN+90[tex]^\circ =180 ^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]MBN=90[tex]^\circ[/tex] (2)
За [tex]\triangle[/tex]BNM ползвайки (1) и (2) намираме [tex]\angle[/tex]BNM=45[tex]^\circ[/tex] (3) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\triangle[/tex]BNM е правоъгълен и равнобедрен

б) Нека правата NM пресича страната AC в т.H и правата AM пресича страната NC в т.P .
Забелязваме , че [tex]\angle[/tex]ANH=[tex]\angle[/tex]BNM=45[tex]^\circ[/tex] ( виж (3)) , тогава [tex]\triangle[/tex]ANH е равнобедрен и правоъгълен (4)
т.е. [tex]\angle[/tex]AHN=[tex]\angle[/tex]AHM=90[tex]^\circ[/tex] (B)
За [tex]\triangle[/tex]МСН знаем [tex]\angle[/tex]МСН=[tex]\angle[/tex]ВСА=45[tex]^\circ[/tex] по условие и [tex]\angle[/tex]МНС=90[tex]^\circ[/tex] ,защото е съседен на [tex]\angle[/tex]AHN=90[tex]^\circ[/tex] (от (4))
Следователно [tex]\angle[/tex]НМС=45[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\triangle[/tex]МСН е правоъгълен и равнобедрен с бедра МН и СН (5)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]AMH и [tex]\triangle[/tex]NCH
1. AH=NH (от (4))
2. MH=CH (от (5))
3. [tex]\angle[/tex]AHM=[tex]\angle[/tex]NHC=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] по 1 признак [tex]\triangle[/tex]AMH[tex]\cong \triangle[/tex]NCH
Това значи ,че [tex]\angle[/tex]HAM=[tex]\angle[/tex]HNC=[tex]\alpha[/tex] (6)
[tex]\angle[/tex]BAM+[tex]\angle[/tex]HAM=[tex]\angle[/tex]BAC ;[tex]\angle[/tex]BAM+[tex]\alpha =45 ^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]BAM=45[tex]^\circ - \alpha[/tex] (7)
За [tex]\triangle[/tex]MNC ползваме (6) и [tex]\angle[/tex]CMN=135[tex]^\circ[/tex] и намираме [tex]\angle[/tex]MCN=[tex]\angle[/tex]BCN=45[tex]^\circ - \alpha[/tex] (8)

От (7) и (8) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BCN=[tex]\angle[/tex]BAM

в) Ъгълът м/у правите AM и CN = [tex]\angle[/tex]APC=?
([tex]\triangle[/tex]APC) [tex]\angle[/tex]CAP+[tex]\angle[/tex]APC+[tex]\angle[/tex]PCA=180[tex]^\circ[/tex] виж(6)
[tex]\alpha[/tex]+[tex]\angle[/tex]APC+([tex]\angle[/tex]BCN+[tex]\angle[/tex]ACB) =180[tex]^\circ[/tex] виж (8) и (А)
[tex]\alpha[/tex]+[tex]\angle[/tex]APC+45[tex]^\circ - \alpha +45 ^\circ=180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]APC=90[tex]^\circ[/tex]

в) (втори начин)
Доказахме ,че [tex]\angle[/tex]AHN=90[tex]^\circ[/tex] (виж (В)) [tex]\Rightarrow[/tex] в [tex]\triangle[/tex]ANC NH и CB се явяват височини .
Тогава т.М е ортоцентър и щом АР минава през т.М (по построение) ,то АР също е височина в [tex]\triangle[/tex]ANC т.е. [tex]\angle[/tex]APC=90[tex]^\circ[/tex]